$f$ est définie si et seulement si son dénominateur est différent de $0$ . Or :

$x+2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2$

L'ensemble de définition de $f$ est donc $D_f = \mathbb{R} \backslash \{ - 2\}$

(on peut également écrire $D_f = ] - \infty ; - 2[ \cup ] - 2 ; + \infty [$)

Calculons $1 - \frac{1}{x+2}$ (en réduisant au même dénominateur) :

$1 - \frac{1}{x+2}=\frac{x+2}{x+2} - \frac{1}{x+2}$

$\phantom{1 - \frac{1}{x+2}}=\frac{x+2 - 1}{x+2}$

$\phantom{1 - \frac{1}{x+2}}=\frac{x+1}{x+2} = f(x)$

Donc : $f\left(x\right)=1 - \frac{1}{x+2}$

Rappel (Définition)

La fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $I$ si pour tous réels $x_1$ et $x_2$ appartenant à $I$ tels que $x_1 < x_2$ on a $f\left(x_1\right) < f\left(x_2\right)$.

(voir fiche de cours)

Sur l'intervalle $\left] - 2 ; +\infty \right[$

Si $- 2 < x_1 < x_2$ alors :

en ajoutant $2$ à chaque membre :

$0 < x_1 + 2 < x_2 + 2$

en prenant l'inverse des deux derniers membres (on change le sens de l'inégalité car la fonction inverse est décroissante sur $\left]0 ; +\infty \right[$) :

$\frac{1}{x_1 + 2} > \frac{1}{x_2 + 2}$

en multipliant chaque membre par $- 1$ (on change une nouvelle fois le sens de l'inégalité car $- 1$ est négatif) :

$- \frac{1}{x_1 + 2} < - \frac{1}{x_2 + 2}$

en ajoutant $1$ à chaque membre :

$1 - \frac{1}{x_1 + 2} < 1 - \frac{1}{x_2 + 2}$

c'est à dire :

$f(x_1) < f(x_2)$

$- 2 < x_1 < x_2$ entraîne $f(x_1) < f(x_2)$ donc $f$ est strictement croissante sur $\left] - 2 ; +\infty \right[$

La démonstration est analogue sur $\left] - \infty ; - 2\right[$.

Le tableau de variation de $f$ est :