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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Etude des variations d'une fonction homographique

Soit la fonction ff définie par f(x)=x+1x+2f\left(x\right)=\frac{x+1}{x+2}.

  1. Quel est l'ensemble de définition Df\mathscr D_{f} de ff ?

  2. Montrer que pour tout xDfx \in \mathscr D_{f} :

    f(x)=11x+2f\left(x\right)=1 - \frac{1}{x+2}

  3. Montrer que ff est strictement croissante sur ]2;+[\left] - 2 ; +\infty \right[ puis sur .];2[\left] - \infty ; - 2\right[

Corrigé

  1. ff est définie si et seulement si son dénominateur est différent de 00 . Or :

    x+2=0x=2x+2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2

    L'ensemble de définition de ff est donc Df=R\{2}D_f = \mathbb{R} \backslash \{ - 2\}

    (on peut également écrire Df=];2[]2;+[D_f = ] - \infty ; - 2[ \cup ] - 2 ; + \infty [ )

  2. Calculons 11x+21 - \frac{1}{x+2} (en réduisant au même dénominateur) :

     

    11x+2=x+2x+21x+21 - \frac{1}{x+2}=\frac{x+2}{x+2} - \frac{1}{x+2}

    11x+2=x+21x+2\phantom{1 - \frac{1}{x+2}}=\frac{x+2 - 1}{x+2}

    11x+2=x+1x+2=f(x)\phantom{1 - \frac{1}{x+2}}=\frac{x+1}{x+2} = f(x)

    Donc : f(x)=11x+2f\left(x\right)=1 - \frac{1}{x+2}

  3. Rappel (Définition)

    La fonction ff est strictement croissante sur l'intervalle II si pour tous réels x1x_1 et x2x_2 appartenant à II tels que x1<x2x_1 < x_2 on a f(x1)<f(x2)f\left(x_1\right) < f\left(x_2\right).

    (voir fiche de cours)

    Sur l'intervalle ]2;+[\left] - 2 ; +\infty \right[

    Si 2<x1<x2 - 2 < x_1 < x_2 alors :

    en ajoutant 22 à chaque membre :

    0<x1+2<x2+20 < x_1 + 2 < x_2 + 2

    en prenant l'inverse des deux derniers membres (on change le sens de l'inégalité car la fonction inverse est décroissante sur ]0;+[\left]0 ; +\infty \right[) :

    1x1+2>1x2+2\frac{1}{x_1 + 2} > \frac{1}{x_2 + 2}

    en multipliant chaque membre par 1 - 1 (on change une nouvelle fois le sens de l'inégalité car 1 - 1 est négatif) :

    1x1+2<1x2+2 - \frac{1}{x_1 + 2} < - \frac{1}{x_2 + 2}

    en ajoutant 11 à chaque membre :

    11x1+2<11x2+21 - \frac{1}{x_1 + 2} < 1 - \frac{1}{x_2 + 2}

    c'est à dire :

    f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2)

    2<x1<x2 - 2 < x_1 < x_2 entraîne f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2) donc ff est strictement croissante sur ]2;+[\left] - 2 ; +\infty \right[

    La démonstration est analogue sur ];2[\left] - \infty ; - 2\right[.

    Le tableau de variation de ff est :

    Exercice