1. La fonction inverse
Définition
La fonction inverse est la fonction définie sur \left]-\infty ; 0\right[ \cup \left]0; +\infty \right[ : x \mapsto \frac{1}{x}.
Sa courbe représentative est une hyperbole.
L’hyperbole représentant la fonction x \mapsto \frac{1}{x}
Théorème
La courbe représentative de la fonction inverse est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Théorème
La fonction inverse est strictement décroissante sur \left]-\infty ; 0\right[ et sur \left]0; +\infty \right[.
Tableau de variation de la fonction « inverse »
Exemple d’application
On veut comparer les nombres \frac{1}{\pi } et \frac{1}{3}.
On sait que \pi > 3
Comme les nombres 3 et \pi sont strictement positifs et que la fonction inverse est strictement décroissante sur \left]0; +\infty \right[ on en déduit que \frac{1}{\pi } < \frac{1}{3}
2. Fonctions homographiques
Définition
Soient a, b, c, d quatre réels avec c\neq 0 et ad-bc\neq 0.
La fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{-\frac{d}{c}\right\} par :
s’appelle une fonction homographique.
La courbe représentative d’une fonction homographique est une hyperbole.
Remarques
La valeur « interdite » -\frac{d}{c} est celle qui annule le dénominateur.
Si ad-bc=0, la fraction se simplifie et dans ce cas la fonction f est constante sur son ensemble de définition. Par exemple f\left(x\right)=\frac{2x+1}{4x+2}=\frac{2x+1}{2\times \left(2x+1\right)}=\frac{1}{2} sur \mathbb{R}\backslash\left\{-\frac{1}{2}\right\}
Exemple
La fonction f telle que :
est définie pour x+1 \neq 0 c’est à dire x \neq -1.
Son ensemble de définition est donc :
\mathscr D_f = \mathbb{R}\backslash\left\{-1\right\} ( ou \mathscr D_f =\left]-\infty ; -1\right[ \cup \left]-1 ; +\infty \right[)
Elle est strictement croissante sur chacun des intervalles \left]-\infty ; -1\right[ et \left]-1 ; +\infty \right[ (pour cet exemple ; ce n’est pas le cas pour toutes les fonctions homographiques !).
Tableau de variations de f~:~x \longmapsto \frac{3x + 2}{x + 1}
Courbe représentative de f~:~x \longmapsto \frac{3x + 2}{x + 1}
