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Seconde

Cours

La fonction « inverse » et les fonctions homographiques

1. La fonction inverse

Définition

La fonction inverse est la fonction définie sur \left]-\infty ; 0\right[ \cup \left]0; +\infty \right[ : x \mapsto \frac{1}{x}.

Sa courbe représentative est une hyperbole.

fonction inverse

L’hyperbole représentant la fonction x \mapsto \frac{1}{x}

Théorème

La courbe représentative de la fonction inverse est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Théorème

La fonction inverse est strictement décroissante sur \left]-\infty ; 0\right[ et sur \left]0; +\infty \right[.

tableau de variation fonction inverse

Tableau de variation de la fonction « inverse »

Exemple d’application

On veut comparer les nombres \frac{1}{\pi } et \frac{1}{3}.

On sait que \pi > 3

Comme les nombres 3 et \pi sont strictement positifs et que la fonction inverse est strictement décroissante sur \left]0; +\infty \right[ on en déduit que \frac{1}{\pi } < \frac{1}{3}

2. Fonctions homographiques

Définition

Soient a, b, c, d quatre réels avec c\neq 0 et ad-bc\neq 0.

La fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{-\frac{d}{c}\right\} par :

f\left(x\right)=\frac{ax+b}{cx+d}

s’appelle une fonction homographique.

La courbe représentative d’une fonction homographique est une hyperbole.

Remarques

  • La valeur « interdite » -\frac{d}{c} est celle qui annule le dénominateur.

  • Si ad-bc=0, la fraction se simplifie et dans ce cas la fonction f est constante sur son ensemble de définition. Par exemple f\left(x\right)=\frac{2x+1}{4x+2}=\frac{2x+1}{2\times \left(2x+1\right)}=\frac{1}{2} sur \mathbb{R}\backslash\left\{-\frac{1}{2}\right\}

Exemple

La fonction f telle que :

f\left(x\right)=\frac{3x + 2}{x + 1}

est définie pour x+1 \neq 0 c’est à dire x \neq -1.

Son ensemble de définition est donc :

\mathscr D_f = \mathbb{R}\backslash\left\{-1\right\} ( ou \mathscr D_f =\left]-\infty ; -1\right[ \cup \left]-1 ; +\infty \right[)

Elle est strictement croissante sur chacun des intervalles \left]-\infty ; -1\right[ et \left]-1 ; +\infty \right[ (pour cet exemple ; ce n’est pas le cas pour toutes les fonctions homographiques !).

Tableau de variations de f~:~x \longmapsto \frac{3x + 2}{x + 1}

fonction homographique

Courbe représentative de f~:~x \longmapsto \frac{3x + 2}{x + 1}

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Dans ce chapitre...

Exercices

  • assez difficile Etude des variations d’une fonction homographique
  • difficulté moyenne Fonction homographique – Position de courbes
  • assez difficile Fonction homographique : Vitesses moyennes
  • assez facile Fonction homographique ou non
  • difficulté moyenne Fonction inverse : Encadrements

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