La fonction inverse et la fonction racine carrée
Exercices
Fonction inverse : Encadrements
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Soit $x$ un réel non nul.
Que peut-on dire de $\dfrac{1}{x}$ dans chacun des cas suivants ?
- $\dfrac{1}{3} < x < \dfrac{1}{2}$
- $-4 < x \leqslant -2$
- $-2 \leqslant x \leqslant 2$
Corrigé
- La fonction « inverse » est strictement décroissante sur $\left]0 ; +\infty \right[$ donc
$\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} < \dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{\dfrac{1}{3}}$ c'est-à-dire $2 < \dfrac{1}{x} < 3$ - La fonction « inverse » est strictement décroissante sur $\left]-\infty ; 0\right[$ donc
$-\dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{x} < -\dfrac{1}{4}$ On ne peut plus utiliser le fait que la fonction inverse est décroissante car $x$ n'a pas un signe constant. On peut répondre en utilisant un graphique :
Sur le graphique on voit que si $-2 \leqslant x \leqslant 2$ et $x\neq 0$ :
$\dfrac{1}{x} \in \left]-\infty ; -\dfrac{1}{2} \right] \cup \left[\dfrac{1}{2} ; +\infty \right[$