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Fonction inverse : Encadrements

Soit xx un réel non nul.

Que peut on dire de 1x\frac{1}{x} dans chacun des cas suivants ?

  1. 13<x<12\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}

  2. −4<x⩽−2 - 4 < x \leqslant - 2

  3. −2⩽x⩽2 - 2 \leqslant x \leqslant 2

Corrigé

  1. La fonction « inverse » est strictement décroissante sur ]0;+∞[\left]0 ; +\infty \right[ donc

    112<1x<113\frac{1}{\frac{1}{2}} < \frac{1}{x} < \frac{1}{\frac{1}{3}} c'est à dire 2<1x<32 < \frac{1}{x} < 3

  2. La fonction « inverse » est strictement décroissante sur ]−∞;0[\left] - \infty ; 0\right[ donc

    −12⩽1x<−14 - \frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{x} < - \frac{1}{4}

  3. On ne plus plus utiliser le fait que la fonction inverse est décroissante car xx n'a pas un signe constant. On peut répondre en utilisant un graphique :

    hyperbole et inéquation

    Sur le graphique on voit que si −2⩽x⩽2 - 2 \leqslant x \leqslant 2 et x≠0x\neq 0 :

    1x∈]−∞;−12]∪[12;+∞[\frac{1}{x} \in \left] - \infty ; - \frac{1}{2} \right] \cup \left[\frac{1}{2} ; +\infty \right[

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