$f$ est définie si et seulement si :

$x+1\neq 0$

$x\neq - 1$

Donc $\mathscr D_{f}=\mathbb{R}\backslash\left\{ - 1\right\}$

$g$ est définie si et seulement si :

$x - 1\neq 0$

$x\neq 1$

Donc $\mathscr D_{g}=\mathbb{R}\backslash\left\{1\right\}$

Les solutions sont les abscisses des points d'intersection des 2 courbes. A la calculatrice, on trouve 2 solutions $x= - 4$ et $x=0$.

Sur $\mathbb{R}\backslash\left\{ - 1 ; 1\right\}$ :

$f\left(x\right) = g\left(x\right) \Leftrightarrow \frac{x - 2}{x+1} = \frac{3x+2}{x - 1}$

$\phantom{f\left(x\right) = g\left(x\right)} \Leftrightarrow (x - 2)(x - 1)=(x+1)(3x+2)$ ("produit en croix")

$\phantom{f\left(x\right) = g\left(x\right)} \Leftrightarrow x^2 - 3x+2=3x^2+5x+2$

$\phantom{f\left(x\right) = g\left(x\right)} \Leftrightarrow - 2x^2 - 8x=0$

On peut mettre $- 2x$ en facteur:

$- 2x(x+4)=0$

C'est une équation "produit" qui a pour solutions :

$- 2x=0$ ou $x+4=0$

c'est à dire $x=0$ ou $x= - 4$

On retrouve bien les résultats de la question précédente.

$f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)$ si et seulement si la courbe de $f$ est en dessous de la courbe de $g$

Sur le graphique on voit que $S=\left] - \infty ; - 4\right] \cup \left] - 1;0\right] \cup \left]1;+\infty \right[$

$f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right) \Leftrightarrow g\left(x\right) - f\left(x\right) \geqslant 0$

$\phantom{f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)} \Leftrightarrow \frac{3x+2}{x - 1} - \frac{x - 2}{x+1} \geqslant 0$

$\phantom{f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)} \Leftrightarrow \frac{\left(3x+2\right)\left(x+1\right)}{\left(x - 1\right)\left(x+1\right)} - \frac{\left(x - 2\right)\left(x - 1\right)}{\left(x+1\right)\left(x - 1\right)} \geqslant 0$

$\phantom{f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)} \Leftrightarrow \frac{3x^{2}+3x+2x+2}{\left(x - 1\right)\left(x+1\right)} - \frac{x^{2} - x - 2x+2}{\left(x+1\right)\left(x - 1\right)} \geqslant 0$

$\phantom{f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)} \Leftrightarrow \frac{2x^{2}+8x}{\left(x+1\right)\left(x - 1\right)} \geqslant 0$

$\phantom{f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)} \Leftrightarrow \frac{2x\left(x+4\right)}{\left(x+1\right)\left(x - 1\right)} \geqslant 0$

Comme 2 est positif l'expression $\frac{2x\left(x+4\right)}{\left(x+1\right)\left(x - 1\right)}$ est du même signe que $\frac{x\left(x+4\right)}{\left(x+1\right)\left(x - 1\right)}$

On obtient le tableau suivant :

On retrouve bien que $g\left(x\right) - f\left(x\right)\geqslant 0$ a comme ensemble de solutions : $S=\left] - \infty ; - 4\right] \cup \left] - 1;0\right] \cup \left]1;+\infty \right[$