Crible de Matiiassevitch
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Soient $ f $ la fonction carrée, définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right) = x^{2} $ et $ a $ et $ b $ deux réels strictement positifs.
On note $ A $ et $ B $ les points de la courbe représentative de $ f $ d'abscisses respectives $ - a $ et $ b $ et $ M \left(0 ; m\right) $ le point d'intersection de la droite $ \left(AB\right) $ avec l'axe des ordonnées.
Calculer $ m $ en fonction de $ a $ et $ b $.
Corrigé
Les coordonnées de $ A $ sont $ \left( - a ; \left( - a\right)^{2}\right)=\left( - a ; a^{2}\right) $
Les coordonnées de $ B $ sont $ \left(b ; b^{2}\right) $
Le coefficient directeur de la droite $ \left(AB\right) $ est :
$ \alpha =\dfrac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}=\dfrac{b^{2} - a^{2}}{b+a}=b - a $
La droite $ \left(AB\right) $ a donc une équation du type :
$ y=\left(b - a\right)x+\beta $
Pour trouver $ \beta $ :
La droite $ \left(AB\right) $ passe par le point $ A\left( - a ; a^{2}\right) $ donc l'équation ci-dessus est vérifiée si on remplace $ x $ par $ - a $ et $ y $ par $ a^{2} $ :
$ a^{2}=\left(b - a\right)\times \left( - a\right)+\beta $
$ a^{2}= - ab+a^{2}+\beta $
$ a^{2}+ab - a^{2}=\beta $
$ \beta =ab $
L'équation de la droite $ \left(AB\right) $ est donc : $ y=\left(b - a\right)x+ab $
Le point $ M $ a pour abscisse 0. Son ordonnée est donc :
$ m=\left(b - a\right)\times 0+ab$, donc $\mathbf{m=ab}$
On obtient ainsi une « table de multiplication graphique » (voir figure ci-dessus pour $ 2\times 3 $)
Remarque
On peut utiliser le crible de Matiiassevitch pour rechercher les nombres premiers en donnant à $ a $ et $ b $ des valeurs entières (voir : Le crible géométrique de Matiiassevitch)