Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Crible de Matiiassevitch

Soient ff la fonction carrée, définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2f\left(x\right) = x^{2} et aa et bb deux réels strictement positifs.

On note AA et BB les points de la courbe représentative de ff d'abscisses respectives a - a et bb et M(0;m)M \left(0 ; m\right) le point d'intersection de la droite (AB)\left(AB\right) avec l'axe des ordonnées.

Calculer mm en fonction de aa et bb.

Corrigé

Crible de Matiiassevitch

Les coordonnées de AA sont (a;(a)2)=(a;a2)\left( - a ; \left( - a\right)^{2}\right)=\left( - a ; a^{2}\right)

Les coordonnées de BB sont (b;b2)\left(b ; b^{2}\right)

Le coefficient directeur de la droite (AB)\left(AB\right) est :

α=yByAxBxA=b2a2b+a=ba\alpha =\frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}=\frac{b^{2} - a^{2}}{b+a}=b - a

La droite (AB)\left(AB\right) a donc une équation du type :

y=(ba)x+βy=\left(b - a\right)x+\beta

Pour trouver β\beta :

La droite (AB)\left(AB\right) passe par le point A(a;a2)A\left( - a ; a^{2}\right) donc l'équation ci-dessus est vérifiée si on remplace xx par a - a et yy par a2a^{2} :

a2=(ba)×(a)+βa^{2}=\left(b - a\right)\times \left( - a\right)+\beta

a2=ab+a2+βa^{2}= - ab+a^{2}+\beta

a2+aba2=βa^{2}+ab - a^{2}=\beta

β=ab\beta =ab

L'équation de la droite (AB)\left(AB\right) est donc : y=(ba)x+aby=\left(b - a\right)x+ab

Le point MM a pour abscisse 0. Son ordonnée est donc :

m=(ba)×0+ab=abm=\left(b - a\right)\times 0+ab=ab

On obtient ainsi une "table de multiplication graphique" (voir figure ci-dessus pour 2×32\times 3)

[ Remarque : On peut utiliser le crible de Matiiassevitch pour rechercher les nombres premiers en donnant à aa et bb des valeurs entières (voir : Le crible géométrique de Matiiassevitch) ]