Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Connexion Inscription
Variable aléatoire - Loi de probabilité Exercices

[Bac] Probabilités – Variables aléatoires

Durée estimée
20 minutes
Difficulté
Votre progression

Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.

Créer un compte

Objectifs travaillés

[D'après Bac S Liban 2008]

Une urne A contient quatre boules rouges et six boules noires. Une urne B contient une boule rouge et neuf boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher.

Partie A

Un joueur dispose d'un dé à six faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6. Il le lance une fois : s'il obtient 1, il tire au hasard une boule de l'urne A, sinon il tire au hasard une boule de l'urne B.

Soit $ R $ l'événement « le joueur obtient une boule rouge ». Montrer que $ p\left(R\right)=0{,}15 $.

Partie B

Le joueur répète deux fois l'épreuve décrite dans la partie A, dans des conditions identiques et indépendantes (c'est-à-dire qu'à l'issue de la première épreuve, les urnes retrouvent leur composition initiale).

Soit $ x $ un entier naturel non nul.

Lors de chacune des deux épreuves, le joueur gagne $ x $ euros s'il obtient une boule rouge et perd deux euros s'il obtient une boule noire.

On désigne par $ G $ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur en euros au terme des deux épreuves. La variable aléatoire $ G $ prend donc les valeurs $ 2x, x - 2 $ et $ - 4 $.

  1. Déterminer la loi de probabilité de $ G $.
  2. Exprimer l'espérance $ E\left(G\right) $ de la variable aléatoire $ G $ en fonction de $ x $.
  3. Pour quelles valeurs de $ x $ a-t-on $ E\left(G\right) \geqslant 0 $ ?

Corrigé

Partie A

On note $ A $ l'événement « le joueur tire une boule de l'urne A » et $ B $ l'événement « le joueur tire une boule de l'urne B ». Comme le dé est équilibré :

$ p\left(A\right)=\dfrac{1}{6} \quad \text{et} \quad p\left(B\right)=\dfrac{5}{6} $

L'urne A contient $ 4 $ rouges parmi $ 10 $ boules et l'urne B contient $ 1 $ rouge parmi $ 10 $ boules :

$ p_{A}\left(R\right)=\dfrac{4}{10} \quad \text{et} \quad p_{B}\left(R\right)=\dfrac{1}{10} $

Les événements $ A $ et $ B $ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

$ p\left(R\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(R\right)+p\left(B\right)\times p_{B}\left(R\right) $

$ p\left(R\right)=\dfrac{1}{6}\times \dfrac{4}{10}+\dfrac{5}{6}\times \dfrac{1}{10}=\dfrac{4}{60}+\dfrac{5}{60}=\dfrac{9}{60} $

D'où $\mathbf{p\left(R\right)=0{,}15}$.

Partie B

  1. Les deux épreuves sont indépendantes et identiques. À chaque épreuve, $ p\left(R\right)=0{,}15 $ et $ p\left(\overline{R}\right)=0{,}85 $.

    $ G $ prend la valeur $ 2x $ lorsque le joueur obtient deux boules rouges :

    $ p\left(G=2x\right)=0{,}15\times 0{,}15=0{,}0225 $

    $ G $ prend la valeur $ x-2 $ lorsque le joueur obtient une rouge et une noire (deux ordres possibles) :

    $ p\left(G=x-2\right)=2\times 0{,}15\times 0{,}85=0{,}255 $

    $ G $ prend la valeur $ -4 $ lorsque le joueur obtient deux boules noires :

    $ p\left(G=-4\right)=0{,}85\times 0{,}85=0{,}7225 $

    Vérification : $ 0{,}0225+0{,}255+0{,}7225=1 $.

    La loi de probabilité de $ G $ est donnée par le tableau :

    $ g_{i} $ $ 2x $ $ x-2 $ $ -4 $
    $ p\left(G=g_{i}\right) $ $ 0{,}0225 $ $ 0{,}255 $ $ 0{,}7225 $

  2. Par définition de l'espérance :

    $ E\left(G\right)=2x\times 0{,}0225+\left(x-2\right)\times 0{,}255+\left(-4\right)\times 0{,}7225 $

    $ E\left(G\right)=0{,}045x+0{,}255x-0{,}51-2{,}89 $

    D'où $\mathbf{E\left(G\right)=0{,}3x-3{,}4}$.

  3. On résout :

    $ E\left(G\right)\geqslant 0 \iff 0{,}3x-3{,}4\geqslant 0 \iff x\geqslant \dfrac{3{,}4}{0{,}3}=\dfrac{34}{3}\approx 11{,}33 $

    Comme $ x $ est un entier naturel non nul, le jeu est favorable au joueur (en moyenne) lorsque $\mathbf{x\geqslant 12}$.