[Bac] Probabilités - Variables aléatoires
[D'après Bac S Liban 2008]
Une urne A contient quatre boules rouges et six boules noires. Une urne B contient une boule rouge et neuf boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher.
Partie A
Un joueur dispose d'un dé à six faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6. Il le lance une fois : s'il obtient 1, il tire au hasard une boule de l'urne A, sinon il tire au hasard une boule de l'urne B.
Soit l'événement « le joueur obtient une boule rouge ». Montrer que .
Partie B
Le joueur répète deux fois l'épreuve décrite dans la partie A, dans des conditions identiques et indépendantes (c'est-à-dire qu'à l'issue de la première épreuve, les urnes retrouvent leur composition initiale).
Soit un entier naturel non nul.
Lors de chacune des deux épreuves, le joueur gagne euros s'il obtient une boule rouge et perd deux euros s'il obtient une boule noire.
On désigne par la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur en euros au terme des deux épreuves. La variable aléatoire prend donc les valeurs et .
Déterminer la loi de probabilité de .
Exprimer l'espérance de la variable aléatoire en fonction de .
Pour quelles valeurs de a-t-on ?
