[Bac] Probabilités conditionnelles

(D'après Bac ES Amérique du Nord 2009)
Un nouveau bachelier souhaitant souscrire un prêt automobile pour l'achat de sa première voiture, a le choix entre les trois agences bancaires de sa ville : agence A, agence B et agence C. On s'intéresse au nombre de prêts automobiles effectués dans cette ville.
On a constaté que :

• 20% des prêts sont souscrits dans l'agence A,
• 45% des prêts sont souscrits dans l'agence B,
• les autres prêts étant souscrits dans l'agence C.

On suppose que tous les clients souscrivent à une assurance dans l'agence où le prêt est souscrit.
Deux types de contrats sont proposés : le contrat tout risque, dit Zen et le deuxième contrat appelé Speed.

• 80% des clients de l'agence A ayant souscrit un prêt automobile, souscrivent une assurance Zen.
• 30% des clients de l'agence B ayant souscrit un prêt automobile, souscrivent une assurance Zen.
• \frac{2}{7} des clients de l'agence C ayant souscrit un prêt automobile, souscrivent une assurance Speed.

On interroge au hasard un client d'une de ces trois banques ayant souscrit un contrat d'assurance automobile.
On considère les évènements suivants :

• A : « le prêt a été souscrit dans l'agence A »,
• B : « le prêt a été souscrit dans l'agence B »,
• C : « le prêt a été souscrit dans l'agence C »,
• Z : « le contrat d'assurance Zen a été souscrit »,
• S : « le contrat d'assurance Speed a été souscrit ».

Dans tout l'exercice, on donnera les valeurs exactes.

1. Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
2. Déterminer la probabilité que le client interrogé ait souscrit un prêt automobile avec une assurance Zen dans l'agence A.
3. Vérifier que la probabilité de l'évènement Z est égale à 0,545.
4. Le client a souscrit une assurance Zen.
   Déterminer la probabilité que le prêt soit souscrit dans l'agence C.