Exercice corrigéOn lance 3 pièces bien équilibrées valant respectivement 1€, 2€ et 2€.
On veut étudier la variable aléatoire X qui totalise le montant en euros des pièces tombées sur Pile.
- Représenter l’expérience par un arbre pondéré.
- Quelles sont les différentes valeurs possibles pour X?
Donner la loi de probabilité de X. - Quelle est la probabilité d’obtenir un résultat supérieur ou égal à 3€ ?
Corrigé
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Pour simplifier la lecture de l’arbre chaque évènement a été représenté par le montant généré (par exemple « 1 » signifie que la pièce de 1 euro a donné « Pile ») - Les valeurs prises par la variable aléatoire X sont :
0 … (0+0+0)
1 … (1+0+0)
2 … (0+2+0 ou 0+0+2)
3 … (1+2+0 ou 1+0+2)
4 … (0+2+2)
5 … (1+2+2)
Chaque éventualité (issue) a une probabilité de \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}. Les évènements X=2 et X=3 correspondent chacun à 2 éventualités. On obtient donc le tableau suivant :x_{i} 0 1 2 3 4 5 p\left(X=x_{i}\right) \frac{1}{8} \frac{1}{8} \frac{1}{4} \frac{1}{4} \frac{1}{8} \frac{1}{8} - On recherche p\left(X\geqslant 3\right).
p\left(X\geqslant 3\right)=p\left(X=3\right)+p\left(X=4\right)+p\left(X=5\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}
