Exercice corrigé
Sur la figure ci-dessus ABC est un triangle isocèle en C, de base AB= 4 mètres et de hauteur 1 mètre.
P est un point de \left[AC\right] et PQRS est un rectangle.
Où faut-il placer le point P pour que l'aire du rectangle PQRS soit maximale ? Justifier votre réponse.
Corrigé
Traçons la hauteur \left[CH\right] et notons PS=x
Les droites \left(CH\right) et \left(PS\right) sont parallèles donc d'après le théorème de Thalès :
\frac{PS}{HC}=\frac{AS}{AH}
\frac{x}{1}=\frac{AS}{2}
Par conséquent : AS=2x
SH=AH-AS=2-2x et SR=2SH=4-4x
L'aire du rectangle PQRS est donc :
\mathscr A=SR\times PS=x\left(4-4x\right)=-4x^{2}+4x
C'est une fonction polynôme du second degré dont la courbe représentative est une parabole en forme de « U inversé ». Le sommet de cette parabole est atteint pour x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{-8}=\frac{1}{2}.
On a alors \frac{AP}{AC}=\frac{PS}{CH}=\frac{1}{2} donc AP=\frac{1}{2}AC
P est alors le milieu du segment \left[AC\right]
L'aire du rectangle PQRS est donc maximale lorsque P est le milieu du segment \left[AC\right].
