Aire maximale
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteObjectif travaillé
Sur la figure ci-dessus $ ABC $ est un triangle isocèle en $ C $, de base $ AB= 4 $ mètres et de hauteur $ 1 $ mètre.
$ P $ est un point de $ \left[AC\right] $ et $ PQRS $ est un rectangle.
Où faut-il placer le point $ P $ pour que l'aire du rectangle $ PQRS $ soit maximale ? Justifier votre réponse.
Corrigé
Traçons la hauteur $ \left[CH\right] $ et notons $ PS=x $
Les droites $ \left(CH\right) $ et $ \left(PS\right) $ sont parallèles donc d'après le théorème de Thalès :
$ \dfrac{PS}{HC}=\dfrac{AS}{AH} $
$ \dfrac{x}{1}=\dfrac{AS}{2} $
Par conséquent : $ AS=2x $
$ SH=AH - AS=2 - 2x $ et $ SR=2SH=4 - 4x $
L'aire du rectangle $ PQRS $ est donc :
$ \mathscr A=SR\times PS=x\left(4 - 4x\right)= - 4x^{2}+4x $
C'est une fonction polynôme du second degré dont la courbe représentative est une parabole en forme de « U inversé ». Le sommet de cette parabole est atteint pour $ x= - \dfrac{b}{2a}= - \dfrac{4}{ - 8}=\dfrac{1}{2} $.
Par le théorème de Thalès appliqué dans le triangle $ ACH $ (puisque $ \left(PS\right) $ et $ \left(CH\right) $ sont parallèles), on a $ \dfrac{AP}{AC}=\dfrac{AS}{AH}=\dfrac{PS}{CH}=\dfrac{1}{2} $, donc $ AP=\dfrac{1}{2}AC $.
$ P $ est alors le milieu du segment $ \left[AC\right] $.
L'aire du rectangle $ PQRS $ est donc maximale lorsque $ P $ est le milieu du segment $ \left[AC\right] $.