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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Variable aléatoire - Loi de probabilité

I - Rappels de probabilités

Définitions

Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard.

Chacun des résultats possibles s'appelle une éventualité (ou une issue ou un évènement élémentaire)

L'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire s'appelle l'univers de l'expérience.

Exemple

Par exemple, le lancer d'un dé à six faces est une expérience aléatoire. "Obtenir un 6 avec le dé" est une éventualité. L'univers possède 6 éventualités; on peut le représenter par l'ensemble:

Ω={1;2;3;4;5;6}\Omega =\left\{1;2;3;4;5;6\right\}

Définition

Soit une expérience aléatoire ayant comme univers:

Ω={x1;x2;...;xn}\Omega =\left\{x_{1}; x_{2};. . .; x_{n}\right\}

On définit une probabilité sur Ω\Omega en associant, à chaque éventualité xix_{i}, un réel pip_{i} compris entre 0 et 1 tel que la somme de tous les pip_{i} soit égale à 1.

Remarques

  • En pratique, pour définir les probabilités pip_{i} on peut effectuer un très grand nombre de fois l'expérience aléatoire. La fréquence des résultats obtenus permet d'obtenir une estimation de la loi de probabilité. Par exemple, si en lançant 1 000 000 de fois un dé, on obtient 166 724 fois la face "6" on considérera que la probabilité d'obtenir un "6" est d'environ 166 7241 000 000≈16\frac{166\ 724}{1\ 000\ 000} \approx \frac{1}{6}

  • A condition de faire certaines hypothèses (par exemple : "le dé n'est pas truqué") les théorèmes qui suivent permettent de calculer les lois de probabilité de certaines expériences sans avoir recours aux statistiques. Les statistiques peuvent alors servir à valider les hypothèses que l'on a faites au départ.

Définition et propriété

On dit que l'on est en situation d'équiprobabilité si toutes les éventualités on la même probabilité.

Cette probabilité est alors p=1np=\frac{1}{n} où nn est le nombre total d'éventualités.

Remarque

Dans les exercices, on considérera qu'il y a équiprobabilité si l'énoncé indique que l'on jette une pièce "équilibrée", qu'on lance un dé "non truqué", qu'on tire une carte "au hasard" , etc.

Exemples

  • Si l'on jette une pièce non truquée, la probabilité d'obtenir pile est p=12p=\frac{1}{2}

  • Pour un dé à six faces non truqué, la probabilité d'obtenir une face donnée est p=16p=\frac{1}{6}

II - Variables aléatoires

Définition

On définit une variable aléatoire en associant un nombre réel à chaque éventualité d'une expérience aléatoire.

Exemples

  • On mise 1€ sur le numéro 1 à la roulette. On gagne 35€ (36€ - la mise) si le numéro sort. On perd sa mise (soit 1€) dans les autres cas. On peut définir une variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur. Cette variable aléatoire peut prendre la valeur 35 (en cas de gain) ou -1 (en cas de perte).

  • On lance 4 fois une pièce de monnaie. On peut définir une variable aléatoire égale au nombre de "faces" obtenues.

    Les valeurs possibles pour cette variable sont : 0; 1; 2; 3 ou 4.

Notations

  • On note généralement une variable aléatoire à l'aide d'une lettre majuscule (le plus souvent XX)

  • Si la variable aléatoire XX peut prendre les valeurs a1,a2,...ana_{1}, a_{2}, . . . a_{n}, on note (X=ai)\left(X=a_{i}\right) l'évènement : "XX prend la valeur aia_{i}"

Définition

La loi de probabilité d'une variable aléatoire XX associe à chaque valeur aia_{i} prise par XX la probabilité de l'événement (X=ai)\left(X = a_{i}\right).

On la représente généralement sous forme de tableau.

Exemples

  • Si l'on reprend l'exemple de la roulette (ci-dessus) et si on suppose que la probabilité de sortie de chacun des 37 numéros (0 à 36) est égale, la probabilité de gain est de 137\frac{1}{37} et la probabilité de perte 3637\frac{36}{37}.

    La loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :

    aia_{i} −1 - 1 3535
    p(X=ai)p\left(X=a_{i}\right) 3637\frac{36}{37} 137\frac{1}{37}

  • Si on lance 4 fois une pièce de monnaie équilibrée, on montre à l'aide d'un arbre que la variable aléatoire XX donnant le nombre de "faces" obtenues suit la loi de probabilité donnée par le tableau ci-dessous :

    aia_{i} 00 11 22 33 44
    p(X=ai)p\left(X=a_{i}\right) 116\frac{1}{16} 14\frac{1}{4} 38\frac{3}{8} 14\frac{1}{4} 116\frac{1}{16}

Définition (Espérance mathématique)

Soit XX une variable aléatoire qui prend les valeurs xix_{i} avec les probabilités pi=p(X=xi)p_{i}=p\left(X=x_{i}\right).

On appelle espérance mathématique de XX le nombre :

E(X)=x1×p1+x2×p2+...+xn×pnE\left(X\right)= x_{1}\times p_{1}+x_{2}\times p_{2}+. . . +x_{n}\times p_{n} =∑i=1npixi= \sum_{i=1}^{n}p_{i} x_{i}

Remarque

Ce nombre peut s'interpréter comme une valeur moyenne de XX si l'on répète un grand nombre de fois l'expérience.

Exemple

Pour l'exemple de la roulette on a :

E(X)=−1×3637+35×137=−137E\left(X\right)= - 1\times \frac{36}{37}+35\times \frac{1}{37}= - \frac{1}{37}

L'espérance est négative, ce qui signifie qu'en moyenne, le jeu n'est pas favorable au joueur.

Définition (Variance - Ecart-type)

Soit XX une variable aléatoire d'espérance mathématique X‾\overline X.

La variance de la variable aléatoire XX est le nombre réel positif :

V(X)=E((X−X‾)2)V\left(X\right)=E\left(\left(X - \overline X\right)^{2}\right)

L'écart-type est égal à la racine carrée de la variance :

σ(X)=V(X)\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}

Remarque

D'après la définition de la variance, si XX les valeurs xix_{i} avec les probabilités pip_{i} :

V(X)=∑i=1npi(xi−X‾)2V\left(X\right)=\sum_{i=1}^{n}p_{i}\left(x_{i} - \overline X\right)^{2}

En développant les carrés, on montre que la variance peut également s'écrire :

V(X)=E(X2)−X‾2=(∑i=1npixi2)−X‾2V\left(X\right) = E\left(X^{2}\right) - \overline X^{2} =\left(\sum_{i=1}^{n}p_{i} x_{i}^{2}\right) - \overline X^{2}

Propriétés

Soit XX une variable aléatoire qui prend les valeurs xix_{i} avec les probabilités pip_{i}. On note aX+baX+b la variable aléatoire qui prend les valeurs axi+bax_{i}+b avec les mêmes probabilités pip_{i}.

On a alors :

  • E(aX+b)=aE(X)+bE\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b

  • V(aX+b)=a2×V(X)V\left(aX+b\right)=a^{2}\times V\left(X\right)

  • σ(aX+b)=∣a∣×σ(X)\sigma \left(aX+b\right)=|a|\times \sigma \left(X\right)

Exemple

Soit XX un variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euro à un jeu d'argent.

  • Si on augmente les gains de 1 euro, l'espérance mathématique augmentera de 1, la variance et l'écart-type ne seront pas modifiés (a=1;b=1a=1 ; b=1).

  • Si on double les gains, l'espérance mathématique et l'écart-type seront doublés, la variance sera quadruplée (a=2;b=0a=2 ; b=0).

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