Calcul littéral - Maths-cours

1 - Développer

Définition

Développer un produit, c'est l'écrire sous la forme d'une somme (ou d'une différence).

Rappel

Une expression est une somme (algébrique) si la dernière opération effectuée (celle qui donne le résultat final) est une addition ou une soustraction.
Une expression est un produit si la dernière opération effectuée (celle qui donne le résultat final) est une multiplication.

Par exemple :

$3\times 5 - 2\times 45$ et $2x+8y$ sont des sommes algébriques
$5\times \left(3+8\right)$ et $\left(x+1\right)\left(y - 5\right)$ sont des produits.

Propriétés (Distributivité)

$k\left(a+b\right)=ka+kb$
$k\left(a - b\right)=ka - kb$
$\left(a+b\right)\left(c+d\right)=ac+ad+bc+bd$

Exemples

Développer les expressions suivantes:

$A=3\left(x - 2\right)$
$A=3x - 6$
$B=\left(x+3\right)\left(2x - 5\right)$
$B=2x^{2} - 5x+6x - 15$
$B=2x^{2}+x - 15$

Propriétés (Identités remarquables - Développement)

$\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
$\left(a - b\right)^{2}=a^{2} - 2ab+b^{2}$
$\left(a+b\right)\left(a - b\right)=a^{2} - b^{2}$

Exemples

Développer les expressions suivantes:

$C=\left(x+1\right)^{2}$
$C=x^{2}+2\times x\times 1+1^{2}$ (première identité remarquable avec $a=x$ et $b=1$ ) $C=x^{2}+2x+1$
$D=\left(2x - 1\right)^{2}$
$D=4x^{2} - 2\times 2x\times 1+1^{2}$ (seconde identité remarquable avec $a=2x$ et $b=1$ ) $D=4x^{2} - 4x+1$
$E=\left(x+2\right)\left(x - 2\right)$
$E=x^{2} - 2^{2}$ (troisième identité remarquable avec $a=x$ et $b=2$ ) $E=x^{2} - 4$

2 - Factoriser

Définition

Factoriser une somme (ou une différence), c'est l'écrire sous la forme d'un produit.

Propriétés

$ka+kb=k\left(a+b\right)$
$ka - kb=k\left(a - b\right)$

k est le facteur commun

Exemples

Factoriser les expressions suivantes:

$A=\left(x+3\right)\left(x+2\right) - 7\left(x+2\right)$
Le facteur commun est $\left(x+2\right)$
$A=\left(x+2\right)\left[\left(x+3\right) - 7\right]$
$A=\left(x+2\right)\left(x - 4\right)$
$B=\left(2x+1\right)^{2} - \left(2x+1\right)\left(x+3\right)$
$B=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right) - \left(2x+1\right)\left(x+3\right)$
Le facteur commun est $\left(2x+1\right)$
$B=\left(2x+1\right)\left[\left(2x+1\right) - \left(x+3\right)\right]$
$B=\left(2x+1\right)\left(2x+1 - x - 3\right)$
$B=\left(2x+1\right)\left(x - 2\right)$

Remarques

Avec des carrés :
Pour factoriser $\left(x+1\right)^{2}+\left(x+1\right)\left(x+2\right)$ , on utilise le fait que $\left(x+1\right)^{2}=\left(x+1\right)\left(x+1\right)$ ce qui fait apparaître le facteur commun $\left(x+1\right)$ :
$\left(x+1\right)^{2}+\left(x+1\right)\left(x+2\right)={\color{red} {\left(x+1\right)}}\left(x+1\right)+{\color{red} {\left(x+1\right)}}\left(x+2\right)$
$=\left(x+1\right)\left[\left(x+1\right)+\left(x+2\right)\right]$
$=\left(x+1\right)\left(2x+3\right)$
Attention à ne pas oublier le 1 !
Pour factoriser $x^{2} - x$ on écrit que $x^{2}=x\times x$ et $x=x\times 1$ ;
$x$ est alors facteur commun :
$x^{2} - x = {\color{red} x}\times x - {\color{red} x}\times 1 = x \left(x - 1\right)$

Propriétés (Identités remarquables - Factorisation)

$a^{2}+2ab+b^{2}=\left(a+b\right)^{2}$
$a^{2} - 2ab+b^{2}=\left(a - b\right)^{2}$
$a^{2} - b^{2}=\left(a+b\right)\left(a - b\right)$

Exemples

Factoriser les expressions suivantes:

$C=x^{2} - 6x+9$
$C=x^{2} - 2\times x\times 3+3^{2}$
$C=\left(x - 3\right)^{2}$ (seconde identité remarquable avec $a=x$ et $b=3$ )
$D=25x^{2} - 4$
$D=\left(5x\right)^{2} - 2^{2}$
$D=\left(5x+2\right)\left(5x - 2\right)$ (troisième identité remarquable avec $a=5x$ et $b=2$ )

1 - Développer

Définition

Rappel

Propriétés (Distributivité)

Exemples

Propriétés (Identités remarquables - Développement)

Exemples

2 - Factoriser

Définition

Propriétés

Exemples

Remarques

Propriétés (Identités remarquables - Factorisation)

Exemples

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