1 – Développer
Définition
Développer un produit, c’est l’écrire sous la forme d’une somme (ou d’une différence).
Rappel
- Une expression est une somme (algébrique) si la dernière opération effectuée (celle qui donne le résultat final) est une addition ou une soustraction.
- Une expression est un produit si la dernière opération effectuée (celle qui donne le résultat final) est une multiplication.
Par exemple :
- 3\times 5-2\times 45 et 2x+8y sont des sommes algébriques
- 5\times \left(3+8\right) et \left(x+1\right)\left(y-5\right) sont des produits.
Propriétés (Distributivité)
- k\left(a+b\right)=ka+kb
- k\left(a-b\right)=ka-kb
- \left(a+b\right)\left(c+d\right)=ac+ad+bc+bd
Exemples
Développer les expressions suivantes:
- A=3\left(x-2\right)
A=3x-6 - B=\left(x+3\right)\left(2x-5\right)
B=2x^{2}-5x+6x-15
B=2x^{2}+x-15
Propriétés (Identités remarquables – Développement)
- \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}
- \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}
- \left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^{2}-b^{2}
Exemples
Développer les expressions suivantes:
- C=\left(x+1\right)^{2}
C=x^{2}+2\times x\times 1+1^{2} (première identité remarquable avec a=x et b=1)
C=x^{2}+2x+1 - D=\left(2x-1\right)^{2}
D=4x^{2}-2\times 2x\times 1+1^{2} (seconde identité remarquable avec a=2x et b=1)
D=4x^{2}-4x+1 - E=\left(x+2\right)\left(x-2\right)
E=x^{2}-2^{2} (troisième identité remarquable avec a=x et b=2)
E=x^{2}-4
2 – Factoriser
Définition
Factoriser une somme (ou une différence), c’est l’écrire sous la forme d’un produit.
Propriétés
- ka+kb=k\left(a+b\right)
- ka-kb=k\left(a-b\right)
k est le facteur commun
Exemples
Factoriser les expressions suivantes:
- A=\left(x+3\right)\left(x+2\right)-7\left(x+2\right)
Le facteur commun est \left(x+2\right)
A=\left(x+2\right)\left[\left(x+3\right)-7\right]
A=\left(x+2\right)\left(x-4\right) - B=\left(2x+1\right)^{2}-\left(2x+1\right)\left(x+3\right)
B=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)-\left(2x+1\right)\left(x+3\right)
Le facteur commun est \left(2x+1\right)
B=\left(2x+1\right)\left[\left(2x+1\right)-\left(x+3\right)\right]
B=\left(2x+1\right)\left(2x+1-x-3\right)
B=\left(2x+1\right)\left(x-2\right)
Remarques
- Avec des carrés :
Pour factoriser \left(x+1\right)^{2}+\left(x+1\right)\left(x+2\right), on utilise le fait que \left(x+1\right)^{2}=\left(x+1\right)\left(x+1\right) ce qui fait apparaître le facteur commun \left(x+1\right) :
\left(x+1\right)^{2}+\left(x+1\right)\left(x+2\right)=\color{red}{\left(x+1\right)}\left(x+1\right)+\color{red}{\left(x+1\right)}\left(x+2\right)
=\left(x+1\right)\left[\left(x+1\right)+\left(x+2\right)\right]
=\left(x+1\right)\left(2x+3\right) - Attention à ne pas oublier le 1 !
Pour factoriser x^{2}-x on écrit que x^{2}=x\times x et x=x\times 1;
x est alors facteur commun :
x^{2}-x = \color{red}{x}\times x-\color{red}{x}\times 1 = x \left(x-1\right)
Propriétés (Identités remarquables – Factorisation)
- a^{2}+2ab+b^{2}=\left(a+b\right)^{2}
- a^{2}-2ab+b^{2}=\left(a-b\right)^{2}
- a^{2}-b^{2}=\left(a+b\right)\left(a-b\right)
Exemples
Factoriser les expressions suivantes:
- C=x^{2}-6x+9
C=x^{2}-2\times x\times 3+3^{2}
C=\left(x-3\right)^{2} (seconde identité remarquable avec a=x et b=3) - D=25x^{2}-4
D=\left(5x\right)^{2}-2^{2}
D=\left(5x+2\right)\left(5x-2\right) (troisième identité remarquable avec a=5x et b=2)
