Barycentres
1. Barycentre de deux points pondérés
Théorème et définition
A et B sont deux points du plan; [latex]\alpha [/latex] et [latex]\beta [/latex] sont deux réels tels que [latex]\alpha +\beta \neq 0[/latex]
Il existe un unique point [latex]G[/latex] du plan tel que [latex]\alpha \overrightarrow{GA}+\beta \overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}[/latex].
G s'appelle le barycentre du système [latex]\left\{\left(A; \alpha \right); \left(B;\beta \right)\right\}[/latex].
Remarque
Lorsque [latex]\alpha =\beta [/latex] (on parle alors d'isobarycentre), G est le milieu du segment [AB].
Propriété
Pour tout réel [latex]k \neq 0[/latex], le barycentre ne change pas si on multiplie tous les coefficients par [latex]k[/latex].
Propriété
Si G est le barycentre du système [latex]\left\{\left(A; \alpha \right); \left(B;\beta \right)\right\}[/latex], les points A, B et G sont alignés. Réciproquement, si A, B et C sont trois points alignés, il existe 2 nombres [latex]\alpha [/latex] et [latex]\beta [/latex] avec [latex]\alpha +\beta \neq 0[/latex] tel que C soit barycentre du système [latex]\left\{\left(A; \alpha \right); \left(B;\beta \right)\right\}[/latex].
Propriété
[latex]\alpha [/latex] et [latex]\beta [/latex] sont deux réels tels que [latex]\alpha +\beta \neq 0[/latex]. Pour tout point M du plan :
[latex]\left(\alpha +\beta \right)\overrightarrow{MG}=\alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}[/latex]
Remarque
La propriété précédente est valable pour tout point M. En particulier en faisant M=A on obtient:
[latex]\overrightarrow{AG}=\frac{\beta}{\alpha +\beta }\overrightarrow{AB}[/latex]
Cette formule est très utile pour placer le point G.
2. Barycentre de trois points pondérés
Théorème et définition
A, B et C sont trois points du plan; [latex]\alpha [/latex], [latex]\beta [/latex] et [latex]\gamma [/latex] sont trois réels tels que [latex]\alpha +\beta +\gamma \neq 0[/latex]
Il existe un unique point [latex]G[/latex] du plan tel que [latex]\alpha \overrightarrow{GA}+\beta \overrightarrow{GB}+\gamma \overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}[/latex].
G s'appelle le barycentre du système [latex]\left\{\left(A; \alpha \right); \left(B;\beta \right), \left(C;\gamma \right)\right\}[/latex].
Propriété
Pour tout réel [latex]k \neq 0[/latex], le barycentre ne change pas si on multiplie tous les coefficients par [latex]k[/latex].
Propriété
[latex]\alpha [/latex], [latex]\beta [/latex] et [latex]\gamma [/latex] sont trois réels tels que [latex]\alpha +\beta +\gamma \neq 0[/latex]. Pour tout point M du plan :
[latex]\left(\alpha +\beta +\gamma \right)\overrightarrow{MG}=\alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}+\gamma \overrightarrow{MC}[/latex]
Remarque
La propriété précédente est valable pour tout point M. En particulier en faisant M=A on obtient:
[latex]\overrightarrow{AG}=\frac{\beta}{\alpha +\beta +\gamma }\overrightarrow{AB}+\frac{\gamma}{\alpha +\beta +\gamma }\overrightarrow{AC}[/latex]
Cette formule est utile pour placer le point G.
Théorème
Associativité du barycentre
[latex]\alpha [/latex], [latex]\beta [/latex] et [latex]\gamma [/latex] sont trois réels tels que [latex]\alpha +\beta +\gamma \neq 0[/latex] et [latex]\alpha +\beta \neq 0[/latex] et soit G le barycentre du système [latex]\left\{\left(A; \alpha \right); \left(B;\beta \right), \left(C;\gamma \right)\right\}[/latex].
Alors G est le barycentre du système [latex]\left\{\left(G_{0}; \alpha +\beta \right); \left(C;\gamma \right)\right\}[/latex] où [latex]G_{0}[/latex] est le barycentre du système [latex]\left\{\left(A; \alpha \right); \left(B;\beta \right)\right\}[/latex].
