Barycentres
Ce chapitre ne figure plus au programme de première.
Il est donné à titre de complément.
1. Barycentre de deux points pondérés
Théorème et définition
A et B sont deux points du plan; α et β sont deux réels tels que α+β≠0
Il existe un unique point G du plan tel que αGA+βGB=0.
G s'appelle le barycentre du système {(A;α);(B;β)}.
Remarque
Lorsque α=β (on parle alors d'isobarycentre), G est le milieu du segment [AB].
Propriété
Pour tout réel k≠0, le barycentre ne change pas si on multiplie tous les coefficients par k.
Propriété
Si G est le barycentre du système {(A;α);(B;β)}, les points A, B et G sont alignés.
Réciproquement, si A, B et C sont trois points alignés, il existe 2 nombres α et β avec α+β≠0 tel que C soit barycentre du système {(A;α);(B;β)}.
Propriété
Soient α et β deux réels tels que α+β≠0.
Pour tout point M du plan :
(α+β)MG=αMA+βMB
Remarque
La propriété précédente est valable pour tout point M.
En particulier en faisant M=A on obtient:
AG=α+ββAB
Cette formule est très utile pour placer le point G.
2. Barycentre de trois points pondérés
Théorème et définition
A, B et C sont trois points du plan; α, β et γ sont trois réels tels que α+β+γ≠0.
Il existe un unique point G du plan tel que αGA+βGB+γGC=0.
G s'appelle le barycentre du système {(A;α);(B;β),(C;γ)}.
Propriété
Pour tout réel k≠0, le barycentre ne change pas si on multiplie tous les coefficients par k.
Propriété
Soient α, β et γ trois réels tels que α+β+γ≠0.
Pour tout point M du plan :
(α+β+γ)MG=αMA+βMB+γMC
Remarque
La propriété précédente est valable pour tout point M. En particulier en faisant M=A on obtient:
AG=α+β+γβAB+α+β+γγAC
Cette formule est utile pour placer le point G.
Théorème
Associativité du barycentre
α, β et γ sont trois réels tels que α+β+γ≠0 et α+β≠0 et soit G le barycentre du système {(A;α);(B;β),(C;γ)}.
Alors G est le barycentre du système {(G0;α+β);(C;γ)} où G0 est le barycentre du système {(A;α);(B;β)}.
