Solution rédigée par PYF82

On se place dans la base $(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC})$

On a : $\overrightarrow{KJ}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{KJ}= - \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})$

$\overrightarrow{KJ}= - \frac{4}{6}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{6}\overrightarrow{AC})$

$\overrightarrow{KJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$

et $\overrightarrow{KI}= \overrightarrow{KA} + \overrightarrow{AI}= 2\overrightarrow{AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

On en déduit que : $\overrightarrow{KI}=4\overrightarrow{KJ}$ . Les vecteurs $\overrightarrow{KI}$ et $\overrightarrow{KJ}$ sont donc colinéaires : on en déduit que les points $K, I$ et $J$ sont alignés.