Remarque : Pour des raisons de simplicité, le repère choisi pour la figure est orthonormé. Toutefois, cet exercice ne nécessite pas que le repère soit orthonormé.

1. Les coordonnées de $M$ sont $\left(\frac{x_{B}+x_{C}}{2} ; \frac{y_{B}+y_{C}}{2}\right)=\left(3;3\right)$

   La médiane au triangle $ABC$ issue de $A$ est la droite $\left(AM\right)$.

   Le point $P\left(x;y\right)$ appartient à la droite $\left(AM\right)$ si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AP}$ sont colinéaires.

   $\overrightarrow{AP}$ a pour coordonnées $\left(x - x_{A} ; y - y_{A}\right)=\left(x - 1 ; y - 1\right)$

   $\overrightarrow{AM}$ a pour coordonnées $\left(x_{M} - x_{A} ; y_{M} - y_{A}\right)=\left(2 ; 2\right)$

   Les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AP}$ sont colinéaires si et seulement si (voir théorème) :

   $\left(x - 1\right)\times 2 - \left(y - 1\right)\times 2=0$

   $2x - 2y=0$

   Une équation de la médiane au triangle $ABC$ issue de $A$ est donc $2x - 2y=0$ ou après simplification par $2$ :

   $x - y=0$

2. Le raisonnement étant identique, il ne sera pas détaillé.

   $N\left(\frac{3}{2} ; \frac{5}{2}\right)$

   $\overrightarrow{BP}$ a pour coordonnées $\left(x - 4 ; y - 2\right)$

   $\overrightarrow{BN}$ a pour coordonnées $\left(x_{M} - x_{A} ; y_{M} - y_{A}\right)=\left( - \frac{5}{2} ; \frac{1}{2}\right)$

   Une équation de $\left(BN\right)$ est :

   $\left(x - 4\right)\times \frac{1}{2} - \left(y - 2\right)\times - \frac{5}{2}=0$

   $x+5y - 14=0$ (après multiplication par $2$)

3. Le centre de gravité d'un triangle est le point d'intersection de ses médianes.

   Le couple de coordonnées du point $G$ est donc la solution du système :

   $\left\{ \begin{matrix} x - y=0 \\ x+5y - 14=0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=y \\ 6y - 14=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=y \\ y=7/3\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=7/3 \\ y=7/3 \end{matrix}\right.$

   Les coordonnées de $G$ sont donc $\left(\frac{7}{3} ; \frac{7}{3}\right)$

4. $\overrightarrow{AG}$ a pour coordonnées $\left(x_{G} - x_{A} ; y_{G} - y_{A}\right)=\left(\frac{4}{3};\frac{4}{3}\right)$

   $\overrightarrow{AM}$ a pour coordonnées $\left(2 ; 2\right)$

   On a donc bien $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3} \overrightarrow{AM}$

   Remarque : On retrouve dans cette question un résultat vu au collège. Si l'exercice demandait seulement de trouver les coordonnées de $G$, il était bien sûr plus facile de partir de cette égalité vectorielle que de déterminer l'équation des médianes.