Montrer que 3 points sont alignés (vecteurs)
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Méthode
Trois points $ A $, $ B $ et $ C $ sont alignés si et seulement si les vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $ sont colinéaires.
Avec des coordonnées :
- Étape 1 : Calculer les coordonnées de deux vecteurs ayant un point en commun, par exemple $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $.
- Étape 2 : Calculer le déterminant $ \det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = x_{AB} \times y_{AC} - y_{AB} \times x_{AC} $.
- Étape 3 : Si le déterminant est nul, les vecteurs sont colinéaires et les points sont alignés.
Sans coordonnées : montrer qu'il existe un réel $ k $ tel que $ \overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC} $.
Avec coordonnées (déterminant)
Soient $ P(-1 ~;~ -1) $, $ Q(1 ~;~ 0) $ et $ R(5 ~;~ 2) $.
Montrer que les points $ P $, $ Q $ et $ R $ sont alignés.
Solution
Étape 1 : On calcule les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{PQ} $ et $ \overrightarrow{PR} $.
$ \overrightarrow{PQ} \begin{pmatrix} 1 - (-1) \\ 0 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $
$ \overrightarrow{PR} \begin{pmatrix} 5 - (-1) \\ 2 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix} $
Étape 2 : On calcule le déterminant.
Étape 3 : Le déterminant est nul donc les vecteurs $ \overrightarrow{PQ} $ et $ \overrightarrow{PR} $ sont colinéaires.
Les points $ P $, $ Q $ et $ R $ sont donc alignés.
Sans coordonnées (relation de Chasles)
Soient $ A $, $ B $ et $ C $ trois points du plan.
On considère les points $ M $ et $ N $ définis par :
$ \overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AB} + 6\overrightarrow{AC} $ et $ \overrightarrow{BN} = 2\overrightarrow{AC} $
Montrer que les points $ A $, $ M $ et $ N $ sont alignés.
Solution
Pour montrer que les points $ A $, $ M $ et $ N $ sont alignés, on va montrer que les vecteurs $ \overrightarrow{AM} $ et $ \overrightarrow{AN} $ sont colinéaires.
D'après la relation de Chasles :
$ \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} $
Or d'après l'énoncé $ \overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AB} + 6\overrightarrow{AC} = 3(\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}) $ donc $ \overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AN} $.
Les vecteurs $ \overrightarrow{AM} $ et $ \overrightarrow{AN} $ sont colinéaires.
Les points $ A $, $ M $ et $ N $ sont donc alignés.
Choix d'un repère
$ ABCD $ est un parallélogramme ; $ I $ est le milieu du segment $ [CD] $ et $ E $ le symétrique de $ A $ par rapport à $ I $.
Montrer que les points $ B $, $ C $ et $ E $ sont alignés.
Solution
Plaçons-nous dans le repère $ (A ; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) $.
Dans ce repère, les coordonnées de $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ et $ I $ sont :
$ A(0 ~;~ 0) \quad B(1 ~;~ 0) \quad C(1 ~;~ 1) \quad D(0 ~;~ 1) \quad I\left(\dfrac{1}{2} ~;~ 1\right) $
$ E $ est le symétrique de $ A $ par rapport à $ I $, donc $ \overrightarrow{AE} = 2\overrightarrow{AI} $.
$ \overrightarrow{AI} \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} $ donc $ \overrightarrow{AE} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $ et $ E(1 ~;~ 2) $.
On calcule les coordonnées de $ \overrightarrow{BC} $ et $ \overrightarrow{BE} $ :
$ \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $ et $ \overrightarrow{BE} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} $
On calcule le déterminant :
Le déterminant est nul donc les vecteurs $ \overrightarrow{BC} $ et $ \overrightarrow{BE} $ sont colinéaires.
Les points $ B $, $ C $ et $ E $ sont donc alignés.
Remarque
Quelle méthode choisir ?
- Avec coordonnées : utiliser le déterminant. C'est la méthode la plus systématique et la plus rapide.
- Sans coordonnées : exprimer les vecteurs dans une même base et chercher un coefficient de proportionnalité.
- Pas de repère dans l'énoncé ? On peut en choisir un (comme dans l'exemple 3) pour se ramener au calcul avec coordonnées.