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Montrer que 3 points sont alignés (vecteurs)

Pour montrer que trois points sont alignés on utilise souvent le résultat suivant :

Méthode

Trois points AA, BB et CC sont alignés si et seulement si les vecteurs AB→ \overrightarrow{ AB } et AC→ \overrightarrow{ AC } sont colinéaires.

RAPPELS

Deux vecteurs colinéaires sont deux vecteurs de même direction (mais dont les sens peuvent être différents).

Deux vecteurs u→ \overrightarrow{ u } et v→ \overrightarrow{ v } sont colinéaires si et seulement si il existe un réel kk tel que u→=kv→ \overrightarrow{ u } = k \overrightarrow{ v } ou un réel k′ k^{\prime} tel que v→=k′u→ \overrightarrow{ v } = k^{\prime} \overrightarrow{ u } .

Soient u→(xy) \overrightarrow{ u } \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et v→(x′y′) \overrightarrow{ v } \begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix} , les vecteurs u→ \overrightarrow{ u } et v→ \overrightarrow{ v } sont colinéaires si et seulement si xy′−yx′=0 xy^{\prime} - yx^{\prime} = 0 (produit en croix).

Exemple n°1 (Sans coordonnées)

Soient AA, BB et CC trois points du plan.
On considère les points MM et NN définis par :
AM→=3AB→+6AC→  \overrightarrow{ AM } = 3 \overrightarrow{ AB } + 6\overrightarrow{ AC } \ et  BN→=2AC→ \ \overrightarrow{ BN } = 2 \overrightarrow{ AC }
Montrer que les points A,M A, M et NN sont alignés.

Solution

Pour montrer que les points A,M A, M et NN sont alignés, on va montrer que les vecteurs AM→ \overrightarrow{ AM } et AN→ \overrightarrow{ AN } sont colinéaires.

D'après la relation de Chasles :

AN→=AB→+BN→=AB→+2AC→ \overrightarrow{ AN } = \overrightarrow{ AB } + \overrightarrow{ BN } = \overrightarrow{ AB } + 2 \overrightarrow{ AC }

or d'après l'énoncé AM→=3AB→+6AC→ \overrightarrow{ AM } = 3 \overrightarrow{ AB } + 6\overrightarrow{ AC } \ donc AM→=3AN→ \overrightarrow{ AM } = 3 \overrightarrow{ AN } par conséquent les vecteurs AM→ \overrightarrow{ AM } et AN→ \overrightarrow{ AN } sont colinéaires.

Les points A,M A, M et NN sont donc alignés.

Exemple 2 (avec coordonnées)

Soient P,Q P, Q et RR les points de coordonnées P(−1 ; −1);Q(1 ; 0);R(5 ; 2) P( - 1~;~ - 1) ; Q(1~;~0) ; R(5~;~2) .
Montrer que les points P,Q P, Q et RR sont alignés.

Solution

On va démontrer que les vecteurs PQ→ \overrightarrow{ PQ } et PR→ \overrightarrow{ PR } sont colinéaires.

Rappel

Soient A(xA ; yA) A \left( x_A~;~y_A \right) et B(xB ; yB) B \left( x_B~;~y_B \right) deux points du plan. Les coordonnées du vecteur AB→ \overrightarrow{ AB } sont :

AB→(xB−xAyB−yA) \overrightarrow{ AB } \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}

Les coordonnées des vecteurs PQ→ \overrightarrow{ PQ } et PR→ \overrightarrow{ PR } sont  :
PQ→(1−(−1)=20−(−1)=1) \overrightarrow{ PQ } \begin{pmatrix} 1 - ( - 1) =2\\ 0 - ( - 1)=1 \end{pmatrix}
PR→(5−(−1)=62−(−1)=3) \overrightarrow{ PR } \begin{pmatrix} 5 - ( - 1) =6\\ 2 - ( - 1)=3 \end{pmatrix}

On remarque que PR→=3PQ→ \overrightarrow{ PR } = 3 \overrightarrow{ PQ } donc les vecteurs PQ→ \overrightarrow{ PQ } et PR→ \overrightarrow{ PR} sont colinéaires. Par conséquent, les points P,Q P, Q et RR sont alignés.

Exemple n°3 (Choix d'un repère)

ABCD ABCD est un parallélogramme ; II est le milieu du segment [CD] [CD] et EE le symétrique de AA par rapport à II.
Montrer que les points B,C B, C et EE sont alignés.

Coordonnées et alignement

Solution

Il y a plusieurs manières de résoudre ce problème.
Pour illustrer notre méthode nous allons choisir un repère et effectuer un calcul de coordonnées.

Plaçons nous dans le repère (A;AB→,AD→) (A; \overrightarrow{ AB }, \overrightarrow{ AD } ) .
Dans ce repère, les coordonnées de A,B,C,D,I A, B, C, D, I sont :
A(0;0)B(1;0)C(1;1)D(0;1)I(12;1) A(0;0) \quad B(1;0) \quad C(1;1) \quad D(0;1) \quad I( \frac{ 1 }{ 2} ;1)

Par conséquent, AI→(121) \overrightarrow{ AI } \begin{pmatrix}\frac{ 1 }{ 2 } \\ 1 \end{pmatrix} .
EE étant le symétrique de A A par rapport à II, AE→=2AI→ \overrightarrow{ AE } = 2 \overrightarrow{ AI } . Les coordonnées de AE→ \overrightarrow{ AE } sont AE→(12) \overrightarrow{ AE } \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} et les coordonnées de EE sont donc E(1;2) E(1;2) .

On en déduit que BC→(xC−xB=0yC−yB=1) \overrightarrow{ BC } \begin{pmatrix} x_C - x_B=0 \\ y_C - y_B=1 \end{pmatrix} et BE→(xE−xB=0yE−yB=2) \overrightarrow{ BE } \begin{pmatrix} x_E - x_B= 0 \\ y_E - y_B=2 \end{pmatrix} .

BE→=2BC→ \overrightarrow{ BE } = 2 \overrightarrow{ BC } donc les vecteurs BE→ \overrightarrow{ BE } et BC→ \overrightarrow{ BC } sont colinéaires.

Les points B,C B, C et EE sont donc alignés.

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