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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Points alignés

Soient A(−1;−1),B(2;1)A\left( - 1 ; - 1\right), B\left(2 ; 1\right) et C(8;5)C\left(8 ; 5\right).

Montrer que les points A,BA, B, et CC sont alignés.

Corrigé

Le vecteur AB→\overrightarrow{AB} a pour coordonnées (2−(−1)1−(−1))=(32)\begin{pmatrix} 2 - \left( - 1\right) \\ 1 - \left( - 1\right)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2\end{pmatrix}

Le vecteur AC→\overrightarrow{AC} a pour coordonnées (8−(−1)5−(−1))=(96)\begin{pmatrix} 8 - \left( - 1\right) \\ 5 - \left( - 1\right)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9 \\ 6\end{pmatrix}

AC→=3AB→\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}

Les vecteurs AC→\overrightarrow{AC} et AB→\overrightarrow{AB} sont colinéaires donc les points A,BA, B, et CC sont alignés.

Remarque : on peut aussi calculer le produit xy′−x′yxy^{\prime} - x^{\prime}y où (xy)\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et (x′y′)\begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix} sont les coordonnées des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} : xy′−x′y=3×6−2×9=0 xy^{\prime} - x^{\prime}y=3\times 6 - 2\times 9=0

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