On obtient les coordonnées du vecteur GA+GB+GC en faisant la somme des coordonnées des vecteurs GA, GB et GC :
(1−x)+(2−x)+(9−x)=12−3x
(1−y)+(5−y)+(3−y)=9−3y
Les coordonnées du vecteur GA+GB+GC sont donc (12−3x9−3y)
Le vecteur GA+GB+GC est égal au vecteur nul si et seulement si ses coordonnées sont nulles donc si et seulement si :
{12−3x=09−3y=0
On obtient donc x=312=4 et y=39=3.
Les coordonnées du point G sont donc G(4;3)
Pour montrer que les points A,G et N sont alignés on va montrer que les vecteurs AG et AN sont colinéaires.
Les coordonnées du vecteur AG sont :
AG(4−13−1) soit AG(32)
Les coordonnées du vecteur AN sont :
AN⎝⎛211−14−1⎠⎞ soit AN⎝⎛293⎠⎞
Rappel
Pour montrer que les vecteurs u⃗(xy) et v⃗(x′y′) sont colinéaires on peut montrer que xy′−x′y=0
3×3−29×2=9−9=0
donc les vecteurs AG et AN sont colinéaires.
Les points A,G,N sont donc alignés.
Les autres alignements se démontrent de manière similaire :
Les coordonnées du vecteur BG sont :
BG(4−23−5) soit BG(2−2)
Les coordonnées du vecteur BP sont :
BP(5−22−5) soit BP(3−3)
2×(−3)−(−2)×3=−6+6=0
donc les vecteurs BG et BP sont colinéaires et les points B,G,P sont alignés.
Les coordonnées du vecteur CG sont :
CG(4−93−3) soit CG(−50)
Les coordonnées du vecteur CM sont :
CM⎝⎛23−93−3⎠⎞ soit CM⎝⎛−2150⎠⎞
−5×0−(−215)×0=0+0=0
donc les vecteurs CG et CM sont colinéaires et les points C,G,M sont alignés.
Puisque M,N,P sont les milieux des segments [AB],[BC] et [AC], les droites (AN),(BP) et (CM) sont les médianes du triangle ABC.
D'après la question précédente, le point G appartient à chacune de ces médianes.
Le point G est donc le point de concours des médianes c'est à dire le centre de gravité du triangle ABC.