Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont :

$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 5 - 2 \\ 5 - 4 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

De même, les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{CD}$ sont :

$\overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} x_D - x_C \\ y_D - y_C \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} 7 - 1 \\ 3 - 1 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$

On remarque que $\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AB}$ ; les vecteurs $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires donc les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

Par conséquent, $ABDC$ est un trapèze.

Notons $(x_E~;~y_E)$ les coordonnées du point $E$.

$E$ le symétrique de $C$ par rapport à $A$, par conséquent $A$ est le milieu de $[EC]$.

Les coordonnées du milieu de $[EC]$ sont $\left(\dfrac{x_E+x_C}{2}~;~\dfrac{y_E+y_C}{2}\right)$, c'est à dire $\left(\dfrac{x_E+1}{2}~;~\dfrac{y_E+1}{2}\right)$.

Les coordonnées de $A$ sont $(2~;~4)$ ; $A$ est donc le milieu de $[EC]$ si et seulement si :

$\begin{cases} \dfrac{x_E+1}{2}=2 \\~\\ \dfrac{y_E+1}{2}=4\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_E+1=4 \\ y_E+1=8\end{cases}$

$\phantom{\begin{cases} \dfrac{x_E+1}{2}=2 \\~\\ \dfrac{y_E+1}{2}=4\end{cases}} \Leftrightarrow \begin{cases} x_E=3 \\ y_E=7\end{cases}$

Le point $E$ a donc pour coordonnées $(3~;~7)$.

Le milieu de $[ED]$ a pour coordonnées :

$\left(\dfrac{x_E+x_D}{2}~;~\dfrac{y_E+y_D}{2}\right)$$=\left(\dfrac{3+7}{2}~;~\dfrac{7+3}{2}\right)$$=(5~;~5).$

Le milieu de $[ED]$ est donc le point $B.$

Les coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$ sont $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}~;~\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$$=\left(\dfrac{7}{2}~;~\dfrac{9}{2}\right).$

Les coordonnées du milieu $N$ de $[CD]$ sont $\left(\dfrac{x_C+x_D}{2}~;~\dfrac{y_C+y_D}{2}\right)$$=\left(4~;~2\right).$

Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{EM}$ sont alors :

$\begin{pmatrix} x_M - x_E\\y_M - y_E \end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix} \dfrac{7}{2} - 3\\ \\ \dfrac{9}{2} - 7 \end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}\\ \\ - \dfrac{5}{2} \end{pmatrix}$

et les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{EN}$ : $\begin{pmatrix} x_N - x_E\\y_N - y_E \end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix} 4 - 3 \\ 2 - 7 \end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix} 1 \\ - 5 \end{pmatrix} .$

On remarque que $\overrightarrow{EN}=2\overrightarrow{EM}$, donc les vecteurs $\overrightarrow{EN}$ et $\overrightarrow{EM}$ sont colinéaires et les points $E, M$ et $N$ sont alignés. ( La relation $\overrightarrow{EN}=2\overrightarrow{EM}$ montre également que $M$ est le milieu de $[EN]$.)