Vecteurs et coordonnées
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1 - Repères et coordonnées
Définition
Un repère du plan est déterminé par un point quelconque O, appelé origine du repère, et deux vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$ non colinéaires.
Définition
On dit que le repère $\left(O;\vec{i},\vec{j}\right)$ est :
- orthogonal : si les vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$ sont orthogonaux
- orthonormé ou orthonormal : si le repère est orthogonal et si les vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$ ont la même norme.
Repère orthonormé
2 - Coordonnées d'un vecteur
Définition
Soit $\left(O;\vec{i},\vec{j}\right)$ un repère du plan.
On dit que $M$ a pour coordonnées $\left(x ; y\right)$ si et seulement si :
$\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}$
On dit que $\vec{u}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ si et seulement si :
$\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}$
Par la suite, on considère que le plan P est muni d'un repère $\left(O;\vec{i},\vec{j}\right)$.
Propriété
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.
Propriété
Soient $A\left(x_A;y_A\right)$ et $B\left(x_B;y_B\right)$. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$
Exemple
Soient $A\left(1 ; 1\right), B\left(4 ; 2\right), C\left(5 ; 0\right), D\left(2 ; - 1\right)$
Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont $\begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$
Les coordonnées de $\overrightarrow{DC}$ sont $\begin{pmatrix} 5 - 2 \\ 0 - \left( - 1\right) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ donc $ABCD$ est un parallélogramme (voir Généralités sur les vecteurs).
3 - Opérations sur les coordonnées
Propriété
Soient deux vecteurs $\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix}$.
- Le vecteur $\vec{u}+\vec{v}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x+x^{\prime} \\ y+y^{\prime} \end{pmatrix}$
- Le vecteur $k\vec{u}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}$
4 - Colinéarité et déterminant
Définition
Soient deux vecteurs $\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix}$ dans un repère orthonormé.
On appelle déterminant des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ le nombre réel noté $\det\left(\vec{u},\vec{v}\right)$ défini par :
Propriété
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si $\det\left(\vec{u},\vec{v}\right) = 0$, c'est-à-dire :
[preuve]
Soient $\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix}$ deux vecteurs non nuls.
Sens direct : si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$, c'est-à-dire $x^{\prime} = kx$ et $y^{\prime} = ky$.
Alors $xy^{\prime} - yx^{\prime} = x(ky) - y(kx) = kxy - kxy = 0$.
Réciproque : supposons que $xy^{\prime} - yx^{\prime} = 0$, c'est-à-dire $xy^{\prime} = yx^{\prime}$.
Si $x \neq 0$ : on pose $k = \dfrac{x^{\prime}}{x}$. Alors $x^{\prime} = kx$ et $xy^{\prime} = yx^{\prime} = ykx$ donc $y^{\prime} = ky$ (car $x \neq 0$). On a bien $\vec{v} = k\vec{u}$.
Si $x = 0$ : comme $\vec{u}$ est non nul, on a $y \neq 0$. L'égalité $xy^{\prime} = yx^{\prime}$ donne $0 = yx^{\prime}$ donc $x^{\prime} = 0$. On pose alors $k = \dfrac{y^{\prime}}{y}$ et on a $\vec{v} = k\vec{u}$.
Dans tous les cas, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
[/preuve]
Application
Soient $\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \end{pmatrix}$.
$\det\left(\vec{u},\vec{v}\right) = 2 \times 6 - (-3) \times (-4) = 12 - 12 = 0$
Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont donc colinéaires.
On peut vérifier : $\vec{v} = -2\vec{u}$.
5 - Milieu d'un segment
Propriété
Si $A\left(x_A;y_A\right)$ et $B\left(x_B;y_B\right)$, le milieu $M$ de $\left[AB\right]$ a pour coordonnées :
6 - Norme et distance
Propriété
Soit un vecteur $\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. Alors :
On en déduit si $A\left(x_A;y_A\right)$ et $B\left(x_B;y_B\right)$ :
Exemple
Soient $A\left(1 ; 0\right), B\left(3 ; 1\right), C\left(0 ; 2\right)$.
Que peut-on dire du triangle $ABC$ ?
$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
$AC=\sqrt{\left( - 1\right)^2+2^2}=\sqrt{5}$
$BC=\sqrt{\left( - 3\right)^2+1^2}=\sqrt{10}$
Donc $AB=AC$.
De plus :
$AB^2+AC^2=5+5=10$
$BC^2=10$
Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $A$ (réciproque du théorème de Pythagore) et isocèle.
Les questions essentielles
1. Comment calculer les coordonnées d'un vecteur ?
Pour calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$, on fait la différence « arrivée moins départ » : $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$.
Voir la fiche méthode : Calculer les coordonnées d'un vecteur
2. Comment montrer que trois points sont alignés ?
On calcule les coordonnées de deux vecteurs ayant un point en commun, puis on vérifie que leur déterminant est nul (ce qui prouve la colinéarité).
Voir la fiche méthode : Montrer que 3 points sont alignés
3. Comment calculer les coordonnées du milieu d'un segment ?
On utilise la formule du milieu : $I\left(\dfrac{x_A + x_B}{2} ~;~ \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$. On peut aussi retrouver un point symétrique connaissant le milieu.
Voir la fiche méthode : Calculer les coordonnées du milieu d'un segment
4. Comment calculer la distance entre deux points ?
Dans un repère orthonormé, on utilise la formule : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. Cette formule permet aussi de déterminer la nature d'un triangle.
Voir la fiche méthode : Calculer une distance entre deux points
5. Comment montrer que deux droites sont parallèles avec les coordonnées ?
On détermine un vecteur directeur de chaque droite, puis on calcule le déterminant. Si le déterminant est nul, les droites sont parallèles.
Voir la fiche méthode : Montrer que deux droites sont parallèles