Appliquer la formule des probabilités totales
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Pour calculer la probabilité d'un événement $ B $ à l'aide de la formule des probabilités totales :
- Étape 1 : repérer une partition $ A_1, A_2, \ldots, A_n $ de l'univers (les $ A_i $ sont deux à deux disjoints et leur réunion forme $ \Omega $). Le cas le plus courant est la partition à deux éléments $ \{A,\overline{A}\} $.
- Étape 2 : pour chaque événement $ A_i $, calculer (ou lire sur l'arbre) le produit $ p(A_i)\times p_{A_i}(B) $. Ce produit donne $ p(A_i\cap B) $.
- Étape 3 : additionner les produits obtenus :
Remarque
Sur un arbre pondéré, $ p(B) $ s'obtient en additionnant les probabilités de tous les chemins qui aboutissent à $ B $.
Partition à deux éléments
Une entreprise propose à ses clients deux abonnements : « Confort » (souscrit par $ 65\,\% $ des clients) et « Premium » (les autres). Parmi les clients « Confort », $ 80\,\% $ se déclarent satisfaits ; parmi les clients « Premium », $ 92\,\% $ se déclarent satisfaits. On choisit un client au hasard. Calculer la probabilité qu'il soit satisfait.
Étape 1 : on note $ C $ : « le client a souscrit Confort » et $ S $ : « le client est satisfait ». Les événements $ C $ et $ \overline{C} $ forment une partition de l'univers.
L'arbre pondéré associé est :
Étape 2 : on calcule les probabilités des deux chemins menant à $ S $ :
Étape 3 : on additionne :
Environ $ 84{,}2\,\% $ des clients sont satisfaits.
Partition à trois éléments
Une bibliothèque universitaire reçoit ses livres de trois fournisseurs : $ F_1 $ ($ 50\,\% $ des livres), $ F_2 $ ($ 30\,\% $) et $ F_3 $ ($ 20\,\% $). La probabilité qu'un livre soit endommagé à la livraison vaut $ 0{,}01 $ pour $ F_1 $, $ 0{,}03 $ pour $ F_2 $ et $ 0{,}02 $ pour $ F_3 $. Calculer la probabilité qu'un livre choisi au hasard soit endommagé.
Étape 1 : les événements $ F_1, F_2, F_3 $ forment une partition de l'univers ($ p(F_1)+p(F_2)+p(F_3)=1 $). On note $ E $ : « le livre est endommagé ».
Étape 2 : on calcule les trois produits :
Étape 3 : d'après la formule des probabilités totales :
Attention
Erreurs fréquentes :
- Oublier un chemin menant à $ B $ : il faut additionner tous les chemins, pas seulement le plus probable.
- Confondre $ p_{A}(B) $ avec $ p(A\cap B) $ : la formule des probabilités totales somme des produits $ p(A_i)\times p_{A_i}(B) $, et non les conditionnelles seules.
- Utiliser la formule sur des événements qui ne forment pas une partition : ils doivent être deux à deux incompatibles et recouvrir tout l'univers.