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Probabilités conditionnelles Exercices

Probabilités et pourcentages – Bac ES Métropole 2012

Durée estimée
15 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

La Fédération e-commerce et Vente à Distance (FEVAD) a effectué en octobre 2010 une enquête auprès de 719 acheteurs à distance âgés de 18 ans et plus. Sur le questionnaire proposé, ces personnes ont été interrogées sur le nombre de familles de produits (vêtements, informatique, loisirs, ...) achetés à distance au cours des 12 derniers mois. L'étude statistique a permis d'obtenir les informations suivantes :

Probabilités et pourcentages
  • Parmi les acheteurs de 1 à 2 familles de produits, 45% sont retraités.
  • Parmi les acheteurs de 3 à 4 familles de produits, 25% sont retraités.

Le responsable des ventes tire un questionnaire au hasard, chacun ayant la même probabilité d'être tiré. On note :

  • $ A $ l'évènement : « Le questionnaire tiré est celui d'un acheteur de 1 à 2 familles de produits. »
  • $ B $ l'évènement : « Le questionnaire tiré est celui d'un acheteur de 3 à 4 familles de produits. »
  • $ C $ l'évènement : « Le questionnaire tiré est celui d'un acheteur de 5 familles de produits ou plus. »
  • $ R $ l'évènement : « Le questionnaire tiré est celui d'un retraité. »
  1. Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre.
    1. Calculer la probabilité $ p\left(\text{A} \cap \text{R}\right) $.
    2. Déterminer la probabilité de l'évènement : « Le questionnaire tiré est celui d'un retraité acheteur de 3 à 4 familles de produits. »
    3. On sait de plus que 21,7% des acheteurs interrogés sont des retraités.
      Vérifier que $ p\left(\text{C} \cap \text{R}\right) = 0{,}027 $.
  3. Le responsable des ventes décide de lancer une campagne publicitaire dès lors que le pourcentage de retraités parmi les acheteurs de 5 familles de produits ou plus est inférieur à 8%.
    Quelle décision prendra-t-il ?

Corrigé

  1. L'énoncé nous donne les probabilités suivantes :

    • $ p(A) = 0{,}25 $
    • $ p(B) = 0{,}31 $
    • $ p(C) = 0{,}44 $
    • $ p_A(R) = 0{,}45 $
    • $ p_B(R) = 0{,}25 $

    On traduit ces données par l'arbre pondéré suivant :

    Arbre de probabilité

    1. La probabilité $ p(A \cap R) $ est donnée par :

      $ p(A \cap R) = p(A) \times p_A(R) $

      $ p(A \cap R) = 0{,}25 \times 0{,}45 $

      $ p(A \cap R) = 0{,}1125 $

    2. L'évènement « Le questionnaire tiré est celui d'un retraité acheteur de 3 à 4 familles de produits » correspond à l'intersection $ B \cap R $.

      Sa probabilité est :

      $ p(B \cap R) = p(B) \times p_B(R) $

      $ p(B \cap R) = 0{,}31 \times 0{,}25 $

      $ p(B \cap R) = 0{,}0775 $

    3. On sait que $ 21{,}7\% $ des acheteurs sont retraités, donc $ p(R) = 0{,}217 $.

      D'après la formule des probabilités totales :

      $ p(R) = p(A \cap R) + p(B \cap R) + p(C \cap R) $

      En remplaçant par les valeurs connues :

      $ 0{,}217 = 0{,}1125 + 0{,}0775 + p(C \cap R) $

      $ 0{,}217 = 0{,}19 + p(C \cap R) $

      $ p(C \cap R) = 0{,}217 - 0{,}19 $

      $ p(C \cap R) = 0{,}027 $

      La valeur est donc bien vérifiée.

  3. Le pourcentage de retraités parmi les acheteurs de 5 familles de produits ou plus correspond à la probabilité conditionnelle $ p_C(R) $.

    On utilise la formule :

    $ p_C(R) = \dfrac{p(C \cap R)}{p(C)} $

    $ p_C(R) = \dfrac{0{,}027}{0{,}44} $

    $ p_C(R) \approx 0{,}0614 $ (soit environ $ 6{,}14\% $)

    Comme $ 6{,}14\% < 8\% $, le responsable des ventes décide de lancer la campagne publicitaire.