Inverser un conditionnement avec la formule de Bayes
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Pour calculer $ p_B(A) $ lorsque l'énoncé donne $ p(A) $, $ p_A(B) $ et $ p_{\overline{A}}(B) $ :
- Étape 1 : identifier précisément les deux événements et le sens du conditionnement à inverser. La probabilité connue est $ p_A(B) $ ; on cherche $ p_B(A) $.
- Étape 2 : calculer $ p(B) $ avec la formule des probabilités totales :
- Étape 3 : appliquer la formule de Bayes :
Remarque
La formule de Bayes permet de renverser le sens du conditionnement. La probabilité $ p(A) $ s'appelle probabilité a priori de $ A $ ; après avoir observé que $ B $ s'est réalisé, on dispose d'une nouvelle information et la probabilité a posteriori devient $ p_B(A) $.
Test médical
Une maladie touche $ 0{,}5\,\% $ de la population. Un test diagnostique est positif chez $ 96\,\% $ des malades et chez $ 3\,\% $ des personnes saines. Une personne tirée au sort est testée et le résultat est positif. Quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade ?
Étape 1 : on note $ M $ : « la personne est malade » et $ T $ : « le test est positif ». L'énoncé donne :
On cherche $ p_T(M) $ : c'est l'inversion de $ p_M(T) $.
Étape 2 : formule des probabilités totales pour $ p(T) $ :
Étape 3 : formule de Bayes :
Bien que le test paraisse fiable, environ $ 13{,}9\,\% $ seulement des personnes positives sont effectivement malades : la rareté de la maladie pèse fortement sur la probabilité a posteriori.
Filtrage de courriels
Un logiciel anti-spam signale $ 90\,\% $ des courriels indésirables comme « spam », et $ 4\,\% $ des courriels légitimes sont signalés à tort. On suppose que $ 30\,\% $ des courriels reçus sont des spams. Un message vient d'être signalé comme « spam ». Quelle est la probabilité qu'il s'agisse vraiment d'un spam ?
Étape 1 : on note $ S $ : « le courriel est un spam » et $ A $ : « le courriel est signalé comme spam ». L'énoncé donne :
On cherche $ p_A(S) $.
Étape 2 : formule des probabilités totales :
Étape 3 : formule de Bayes :
Un message signalé est, dans environ $ 90{,}6\,\% $ des cas, vraiment un spam.
Attention
Erreurs fréquentes :
- Confondre $ p_A(B) $ et $ p_B(A) $ dans la formule : numérateur et dénominateur ne se choisissent pas au hasard. Le numérateur est toujours $ p(A)\times p_A(B) $.
- Oublier d'utiliser les probabilités totales pour calculer $ p(B) $ : si l'énoncé ne fournit pas $ p(B) $, il faut le construire à partir de $ p(A) $, $ p(\overline{A}) $ et des conditionnelles.
- Conclure que le test est fiable parce que sa sensibilité est élevée : la probabilité a posteriori dépend aussi de la prévalence $ p(A) $.