Exercice corrigéSoient un triangle ABC, I le symétrique de A par rapport à B, J le milieu de \left[BC\right] et K le point tel que \overrightarrow{AK}=\frac{2}{3} \overrightarrow{AC}
Montrer que les points I, J et K sont alignés. (On pourra se placer dans un repère judicieusement choisi)
Corrigé
On se place dans la base (\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC})
On a : \overrightarrow{KJ}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}
\overrightarrow{KJ}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})
\overrightarrow{KJ}=-\frac{4}{6}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{6}\overrightarrow{AC})
\overrightarrow{KJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}
et \overrightarrow{KI}= \overrightarrow{KA} + \overrightarrow{AI}= 2\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}
On en déduit que : \overrightarrow{KI}=4\overrightarrow{KJ} . Les vecteurs \overrightarrow{KI} et \overrightarrow{KJ} sont donc colinéaires :
on en déduit que les points K, I et J sont alignés.
