Distances dans un triangle

Soit un triangle $ABC$ de hauteur $\left(AH\right)$

Sachant que $AB=6,7$ cm, $AC=3,4$ cm et $AH=3$ cm, le triangle $ABC$ est-il rectangle ?

Corrigé

$\left(AH\right)$ étant une hauteur du triangle $ABC$ , $ABH$ est rectangle en $H$ donc, d'après le théorème de Pythagore :

$AB^{2}=AH^{2}+BH^{2}$

$BH^{2}=AB^{2} - AH^{2}=6,7^{2} - 3^{2}=35,89$

Donc : $BH=\sqrt{35,89}\approx 5,99$ à $10^{ - 2}$ près.

De même, dans le triangle $AHC$ rectangle en $H$ :

$AC^{2}=AH^{2}+CH^{2}$

$CH^{2}=AC^{2} - AH^{2}=3,4^{2} - 3^{2}=2,56$

Donc : $CH=\sqrt{2,56}=1,6$ .

Par conséquent,

$BC=BH+CH\approx 7,59$ cm

Calculons $AB^{2}+AC^{2}$ puis $BC^{2}$ pour savoir si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ :

$AB^{2}+AC^{2}=6,7^{2}+3,4^{2}=56,45$

$BC^{2}\approx 7,59^{2}\approx 57,61$

$AB^{2}+AC^{2}\neq BC^{2}$ donc le triangle $ABC$ n'est pas rectangle en $A$ .