Exercice corrigéLe plan est muni d'un repère orthonormé (O~,~\vec{i},~\vec{j}). On considère les points A(2~;~4), B(5~;~5), C(1~;~1) et D(7~;~3).
Faire une figure.
Montrer que le quadrilatère ABDC est un trapèze.
On note E le symétrique de C par rapport à A.
Déterminer, par le calcul les coordonnées de E.Montrer que B est le milieu du segment [ED].
Soient M et N les milieux respectifs des segments [AB] et [CD].
Déterminer les coordonnées de M et de N.
En déduire que les ponts E, M et N sont alignés.
Corrigé
Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} sont :
\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix}
\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 5-2 \\ 5-4 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}De même, les coordonnées du vecteur \overrightarrow{CD} sont :
\overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} x_D-x_C \\ y_D-y_C \end{pmatrix}
\overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} 7-1 \\ 3-1 \end{pmatrix}
\overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}On remarque que \overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AB} ; les vecteurs \overrightarrow{CD} et \overrightarrow{AB} sont colinéaires donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Par conséquent, ABDC est un trapèze.
Notons (x_E~;~y_E) les coordonnées du point E.
E le symétrique de C par rapport à A, par conséquent A est le milieu de [EC].
Les coordonnées du milieu de [EC] sont \left(\dfrac{x_E+x_C}{2}~;~\dfrac{y_E+y_C}{2}\right), c'est à dire \left(\dfrac{x_E+1}{2}~;~\dfrac{y_E+1}{2}\right).
Les coordonnées de A sont (2~;~4) ; A est donc le milieu de [EC] si et seulement si :
\begin{cases} \dfrac{x_E+1}{2}=2 \\~\\ \dfrac{y_E+1}{2}=4\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_E+1=4 \\ y_E+1=8\end{cases}
\phantom{\begin{cases} \dfrac{x_E+1}{2}=2 \\~\\ \dfrac{y_E+1}{2}=4\end{cases}} \Leftrightarrow \begin{cases} x_E=3 \\ y_E=7\end{cases}Le point E a donc pour coordonnées (3~;~7).
Le milieu de [ED] a pour coordonnées :
\left(\dfrac{x_E+x_D}{2}~;~\dfrac{y_E+y_D}{2}\right)=\left(\dfrac{3+7}{2}~;~\dfrac{7+3}{2}\right)=(5~;~5).
Le milieu de [ED] est donc le point B.
Les coordonnées du milieu M de [AB] sont \left(\dfrac{x_A+x_B}{2}~;~\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)=\left(\dfrac{7}{2}~;~\dfrac{9}{2}\right).
Les coordonnées du milieu N de [CD] sont \left(\dfrac{x_C+x_D}{2}~;~\dfrac{y_C+y_D}{2}\right)=\left(4~;~2\right).
Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{EM} sont alors :
\begin{pmatrix} x_M-x_E\\y_M-y_E \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \dfrac{7}{2}-3\\ \\ \dfrac{9}{2}-7 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}\\ \\ -\dfrac{5}{2} \end{pmatrix}
et les coordonnées du vecteur \overrightarrow{EN} : \begin{pmatrix} x_N-x_E\\y_N-y_E \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4-3 \\ 2-7 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ -5 \end{pmatrix} .
On remarque que \overrightarrow{EN}=2\overrightarrow{EM}, donc les vecteurs \overrightarrow{EN} et \overrightarrow{EM} sont colinéaires et les points E, M et N sont alignés. ( La relation \overrightarrow{EN}=2\overrightarrow{EM} montre également que M est le milieu de [EN].)
