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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Suites - Intégrales – Bac S Pondichéry 2016

Exercice 5 - 3 points

Commun à tous les candidats

On souhaite stériliser une boîte de conserve.

Pour cela, on la prend à la température ambiante T0=25T_0 = 25°C et on la place dans un four à température constante TF=100T_F = 100°C.

La stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 8585°C.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes

Partie A : Modélisation discrète

Pour nn entier naturel, on note TnT_n la température en degré Celsius de la boîte au bout de nn minutes. On a donc T0=25T_0 = 25.

Pour nn non nul, la valeur TnT_n est calculée puis affichée par l'algorithme suivant :

Initialisation TT prend la valeur 2525
Traitement Demander la valeur de nn
Pour ii allant de 11 à nn faire
T \quad T prend la valeur 0,85×T+150,85 \times T + 15
Fin Pour
Sortie : Afficher TT

  1. Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes.

    Arrondir à l'unité.

  2. Démontrer que, pour tout entier naturel nn, on a Tn=10075×0,85nT_n = 100 - 75 \times 0,85^n.

  3. Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-elle ?

Partie B : Modélisation continue

Dans cette partie, tt désigne un réel positif.

On suppose désormais qu'à l'instant tt (exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée par f(t)f(t) (exprimée en degré Celsius) avec :

f(t)=10075eln510tf(t) = 100 - 75{e}^{ - \frac{\ln 5}{10}t}.

    1. Étudier le sens de variations de ff sur [0 ; +[[0~;~+ \infty[.

    2. Justifier que si t10t \geqslant 10 alors f(t)85f(t) \geqslant 85.

  1. Soit θ\theta un réel supérieur ou égal à 1010.

    On note A(θ)\mathcal{A}(\theta) le domaine délimité par les droites d'équation t=10t = 10, t=θt = \theta, y=85y = 85 et la courbe représentative Cf\mathscr{C}_f de ff.

    On considère que la stérilisation est finie au bout d'un temps θ\theta, si l'aire, exprimée en unité d'aire du domaine A(θ)\mathcal{A}(\theta) est supérieure à 8080.

    Suites - Intégrales – Bac S Pondichéry 2016 - 1

    1. Justifier, à l'aide du graphique donné, que l'on a A(25)>80\mathcal{A}(25) > 80.

    2. Justifier que, pour θ10\theta \geqslant 10, on a A(θ)=15(θ10)7510θeln510tdt\mathcal{A}(\theta) = 15(\theta - 10) - 75 \int_{10}^{\theta} \text{e}^{ - \frac{\ln 5}{10}t}\:\text{d}t.

    3. La stérilisation est-elle finie au bout de 2020 minutes ?

Corrigé

Partie A : Modélisation discrète

  1. À partir de l'algorithme proposé, on déduit que la suite (Tn)(T_n) est définie par :

    {T0=25Tn+1=0,85×Tn+15\begin{cases} T_0=25 \\ T_{n+1}=0,85 \times T_n+15 \end{cases}

    Par conséquent :

    T1=0,85×25+15=36,25T_1=0,85 \times 25+15=36,25

    T2=0,85×36,25+15=45,8125T_2=0,85 \times 36,25+15=45,8125

    T3=0,85×45,8125+15=45,812554T_3=0,85 \times 45,8125+15=45,8125 \approx 54 à une unité près.

    Au bout de 3 minutes, la température de la boîte de conserve sera d'environ 5454°.

  2. Montrons la propriété (Pn) : Tn=10075×0,85n(P_n)\ :\ T_n = 100 - 75 \times 0,85^n par récurrence.

    • Initialisation : 10075×0,850=10075×1=25100 - 75 \times 0,85^0=100 - 75 \times 1=25

      On a bien T0=10075×0,850T_0 = 100 - 75 \times 0,85^0 donc la propriété (P0)(P_0) est vérifiée.

    • Hérédité : Supposons que la propriété (Pn)(P_n) soit vraie pour un certain rang nNn \in \mathbb{N}.

      Alors :

      Tn+1=0,85×Tn+15T_{n+1}=0,85 \times T_n+15 (définition de la suite (Tn)(T_n))

      Tn+1=0,85×(10075×0,85n)+15\phantom{T_{n+1}}= 0,85 \times (100 - 75 \times 0,85^n)+15 (d'après l'hypothèse de récurrence)

      0,85×0,85n=0,85n+10,85 \times 0,85^n=0,85^{n+1}

      Tn+1=8575×0,85×0,85n+15\phantom{T_{n+1}}= 85 - 75 \times 0,85 \times 0,85^n+15

      Tn+1=10075×0,85n+1\phantom{T_{n+1}}= 100 - 75 \times 0,85^{n+1}

      La propriété (Pn+1)(P_{n+1}) est donc vérifiée.

    Finalement, la propriété Tn=10075×0,85nT_n = 100 - 75 \times 0,85^n est démontrée par récurrence.

  3. La stérilisation débute lorsque Tn>85T_n > 85 :

    Tn>8510075×0,85n>85T_n > 85 \Leftrightarrow 100 - 75 \times 0,85^n > 85

    Tn>8575×0,85n>85100\phantom{T_n > 85 }\Leftrightarrow - 75 \times 0,85^n > 85 - 100

    Tn>850,85n<1575\phantom{T_n > 85 }\Leftrightarrow 0,85^n <\frac{15}{75}

    Tn>85ln(0,85n)<ln15\phantom{T_n > 85 }\Leftrightarrow \ln(0,85^n) <\ln\frac{1}{5} (car la fonction ln\ln est strictement croissante)

    Tn>85nln(0,85)<ln5\phantom{T_n > 85 }\Leftrightarrow n\ln(0,85) < - \ln 5

    Attention au sens :ln(0,85)\ln(0,85) est négatif !

    Tn>85n>ln5ln(0,85)\phantom{T_n > 85 }\Leftrightarrow n > - \frac{\ln 5}{\ln(0,85)}

    À la calculatrice ln5ln(0,85)9,9 - \frac{\ln 5}{\ln(0,85)} \approx 9,9.

    La stérilisation débutera au bout de 1010 minutes.

Partie B : Modélisation continue

    1. ff est dérivable sur [0 ; +[[0~;~+ \infty[ comme composée de fonctions dérivables.

      On calcule la dérivée de la fonction ff en utilisant la formule (eu)=ueu(e^u)^{\prime}=u^{\prime}e^u :

      f(t)=75×(ln510)eln510tf^{\prime}(t)= - 75 \times \left( - \frac{\ln 5}{10} \right){e}^{ - \frac{\ln 5}{10}t}=7,5ln5 eln510t=7,5\ln5\ {e}^{ - \frac{\ln 5}{10}t}

      La fonction exponentielle étant à valeurs strictement positives, f(t)>0f^{\prime}(t) > 0 pour tout t[0 ; +[t \in [0~;~+ \infty[ donc la fonction ff est strictement croissante sur [0 ; +[[0~;~+ \infty[.

    2. Comme ff est strictement croissante sur [0 ; +[[0~;~+ \infty[ :

      t10f(t)f(10)t \geqslant 10 \Rightarrow f(t) \geqslant f(10)

      Or :

      f(10)=10075eln510×10f(10)=100 - 75{e}^{ - \frac{\ln 5}{10} \times 10}

      f(10)=10075eln5\phantom{f(10)}=100 - 75{e}^{ - \ln 5}

      f(10)=10075eln5\phantom{f(10)}=100 - \frac{75}{{e}^{\ln 5}}

      f(10)=100755=85\phantom{f(10)}=100 - \frac{75}{5}=85

      Donc pour tout t[0 ; +[t \in [0~;~+ \infty[, f(t)85f(t) \geqslant 85.


    1. Suites - Intégrales – Bac S Pondichéry 2016 - 2

      L'aire d'un carreau rectangulaire (coloré en bleu ci-dessus) est 5×5=255 \times 5 = 25 u.a.

      A(25)\mathcal{A}(25) est l'aire du domaine (coloré en vert ci-dessus) délimité par les droites d'équation t=10t = 10, t=25t = 25, y=85y = 85 et la courbe représentative Cf\mathscr{C}_f de ff.

      Il est visible que cette aire est (assez largement !) supérieure à trois fois et demi l'aire d'un carreau donc A(25)>3,5×25>80\mathcal{A}(25) > 3,5 \times 25 > 80.

    2. Pour t10t \geqslant 10, f(t)85f(t) \geqslant 85 donc :

      A(θ)=10θf(t)85dt\mathcal{A}(\theta) = \int_{10}^{\theta} f(t) - 85\:\text{d}t

      A(θ)=10θ1575eln510tdt\phantom{\mathcal{A}(\theta)} = \int_{10}^{\theta} 15 - 75{e}^{ - \frac{\ln 5}{10}t}\:\text{d}t

      A(θ)=10θ15dt7510θeln510tdt\phantom{\mathcal{A}(\theta)} = \int_{10}^{\theta} 15\:\text{d}t - 75\int_{10}^{\theta}{e}^{ - \frac{\ln 5}{10}t}\:\text{d}t (linéarité de l'intégrale)

      A(θ)=[15t]10θ7510θeln510tdt\phantom{\mathcal{A}(\theta)} = \left[15t\right]_{10}^\theta - 75\int_{10}^{\theta}{e}^{ - \frac{\ln 5}{10}t}\:\text{d}t

      A(θ)=15(θ10)7510θeln510tdt\phantom{\mathcal{A}(\theta)} = 15(\theta - 10) - 75\int_{10}^{\theta}{e}^{ - \frac{\ln 5}{10}t}\:\text{d}t

    3. Une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction g:teln510tg : t \longmapsto {e}^{ - \frac{\ln 5}{10}t} est la fonction GG définie par :

      G(t)=10ln5eln510tG(t)= - \frac{10}{\ln 5}{e}^{ - \frac{\ln 5}{10}t}

      Par conséquent :

      1020eln510tdt=[10ln5eln510t]1020\int_{10}^{20}{e}^{ - \frac{\ln 5}{10}t}\:\text{d}t = \left[ - \frac{10}{\ln 5}{e}^{ - \frac{\ln 5}{10}t}\right]_{10}^{20}

      1020eln510tdt=10ln5(e2ln5eln5)\phantom{\int_{10}^{20}{e}^{ - \frac{\ln 5}{10}t}\:\text{d}t} = - \frac{10}{\ln 5}\left({e}^{ - 2\ln 5} - {e}^{ - \ln 5}\right)

      1020eln510tdt=10ln5(12515)\phantom{\int_{10}^{20}{e}^{ - \frac{\ln 5}{10}t}\:\text{d}t} = - \frac{10}{\ln 5}\left(\frac{1}{25} - \frac{1}{5}\right)

      1020eln510tdt=85ln5\phantom{\int_{10}^{20}{e}^{ - \frac{\ln 5}{10}t}\:\text{d}t} = \frac{8}{5\ln 5}

      et :

      A(20)=15(2010)75×85ln5\mathcal{A}(20) = 15(20 - 10) - 75 \times \frac{8}{5\ln 5}

      A(20)=150120ln575,44\phantom{\mathcal{A}(20)} = 150 - \frac{120}{\ln 5} \approx 75,44u.a.

      Au bout de 2020 minutes, A(20)75,44\mathcal{A}(20)\approx 75,44u.a.; le seuil de 8080u.a. n'a pas été atteint donc la stérilisation n'est pas encore finie.

      D'après la question 2.a., la stérilisation sera terminée au bout d'un temps compris entre 2020 et 2525 minutes.