Suites et probabilités
Jean participe à un jeu de tir à la carabine lors d'une fête foraine.
Pour chaque partie, il dispose de deux essais. S'il touche la cible au premier essai, il remporte un lion en peluche (et le jeu s'arrête là). S'il atteint la cible au second essai, il remporte un ourson en peluche. S'il rate les deux tirs, il ne gagne rien mais peut rejouer une nouvelle partie.
Jean décide de jouer jusqu'à ce qu'il ait remporté un lot. Toutefois, il arrêtera de jouer après 5 parties même s'il n'a rien gagné. Lors de chaque partie, Jean a 40
On note :
l' événement : « Jean a atteint la cible du premier coup lors de la n-ième partie »
l' événement : « Jean a atteint la cible au deuxième coup lors de la n-ième partie »
l' événement : « Jean a raté ses deux tirs lors de la n-ième partie »
On note également , et les probabilités respectives de et .
Calculer , et .
Montrer que la suite est une suite géométrique de raison .
Quelle est la probabilité que Jean ne remporte aucun lot ? (On arrondira le résultat à près).
Exprimer et en fonction de . En déduire la probabilité que Jean gagne un lion en peluche et la probabilité qu'il gagne un ourson. (On arrondira les résultats à près).
Corrigé
La première partie peut être schématisée par l'arbre ci-dessous :
On a donc :
Par un raisonnement analogue à celui de la question précédente, la probabilité que Jean perde une partie (c'est à dire manque les deux tirs) sachant qu'il a perdu la partie précédente est .
Par conséquent :
La suite est donc une suite géométrique de raison et de premier terme .
D'après la formule donnant le -ième terme d'une suite géométrique en fonction de , on a alors :
Jean ne remporte aucun lot s'il perd la cinquième partie.
La probabilité que cela se produise est : (à près)Soit un entier strictement supérieur à .
Puisque, lors de chaque partie, Jean a 40 % de chance d'atteindre la cible au premier essai, la probabilité qu'il remporte un lion à la -ième partie sachant qu'il a perdu la -ième partie est .
Par conséquent :
De même :
L'événement "Jean gagne un lion en peluche" est l'événement .
Les événements étant incompatibles, la probabilité que Jean gagne un lion est :
On reconnait la somme des termes d'une suite géométrique. (à près)
De même, la probabilité que Jean gagne un ourson est :
(à près)