[ROC] Événements indépendants
Prérequis : On suppose connue la formule des probabilités totales.
Montrer que si [latex]A[/latex] et [latex]B[/latex] sont deux événements indépendants, alors [latex]A[/latex] et [latex]\overline{B}[/latex] sont aussi indépendants.
Si [latex]A[/latex] et [latex]B[/latex] sont deux événements indépendants, alors :
[latex]p\left(A\cap B\right)=p\left(A\right)\times p\left(B\right)[/latex]
D'après la formule des probabilités totales : [latex]p\left(A\right)=p\left(A\cap B\right)+p\left(A\cap \overline{B}\right)[/latex]
Par conséquent :
[latex]p\left(A\cap \overline{B}\right)=p\left(A\right)-p\left(A\cap B\right)=p\left(A\right)-p\left(A\right)\times p\left(B\right)=p\left(A\right)\left(1-p\left(B\right)\right)[/latex]
Or [latex]1-p\left(B\right)=p\left(\overline{B}\right)[/latex] donc [latex]p\left(A\cap \overline{B}\right)=p\left(A\right)\times p\left(\overline{B}\right)[/latex], ce qui prouve que [latex]A[/latex] et [latex]\overline{B}[/latex] sont indépendants.
