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[ROC] Événements indépendants

On suppose connue la formule des probabilités totales.

Montrer que si A A et BB sont deux événements indépendants, alors AA et B‾\overline{B} sont aussi indépendants.

Corrigé

Si AA et BB sont deux événements indépendants, alors :
p(A∩B)=p(A)×p(B)p\left(A\cap B\right)=p\left(A\right)\times p\left(B\right)

D'après la formule des probabilités totales :

p(A)=p(A∩B)+p(A∩B‾)p\left(A\right)=p\left(A\cap B\right)+p\left(A\cap \overline{B}\right)

Par conséquent :

p(A∩B‾)=p(A)−p(A∩B)p\left(A\cap \overline{B}\right)=p\left(A\right) - p\left(A\cap B\right) =p(A)−p(A)×p(B)=p\left(A\right) - p\left(A\right)\times p\left(B\right)=p(A)(1−p(B))=p\left(A\right)\left(1 - p\left(B\right)\right)

Or 1−p(B)=p(B‾)1 - p\left(B\right)=p\left(\overline{B}\right) donc p(A∩B‾)=p(A)×p(B‾)p\left(A\cap \overline{B}\right)=p\left(A\right)\times p\left(\overline{B}\right), ce qui prouve que AA et B‾\overline{B} sont indépendants.

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