Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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[ROC] Événements indépendants

Prérequis : On suppose connue la formule des probabilités totales. Montrer que si [latex]A[/latex] et [latex]B[/latex] sont deux événements indépendants, alors [latex]A[/latex] et [latex]\overline{B}[/latex] sont aussi indépendants.

Corrigé

Si [latex]A[/latex] et [latex]B[/latex] sont deux événements indépendants, alors : [latex]p\left(A\cap B\right)=p\left(A\right)\times p\left(B\right)[/latex] D'après la formule des probabilités totales : [latex]p\left(A\right)=p\left(A\cap B\right)+p\left(A\cap \overline{B}\right)[/latex] Par conséquent : [latex]p\left(A\cap \overline{B}\right)=p\left(A\right)-p\left(A\cap B\right)=p\left(A\right)-p\left(A\right)\times p\left(B\right)=p\left(A\right)\left(1-p\left(B\right)\right)[/latex] Or [latex]1-p\left(B\right)=p\left(\overline{B}\right)[/latex] donc [latex]p\left(A\cap \overline{B}\right)=p\left(A\right)\times p\left(\overline{B}\right)[/latex], ce qui prouve que [latex]A[/latex] et [latex]\overline{B}[/latex] sont indépendants.