Probabilités conditionnelles – Indépendance
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1.Rappels
Rappels de définitions
- Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard.
- Chacun des résultats possibles s'appelle une éventualité (ou une issue).
- L'ensemble $ \Omega $ de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire s'appelle l'univers de l'expérience.
- On définit une loi de probabilité sur $ \Omega $ en associant, à chaque éventualité $ x_{i} $, un réel $ p_{i} $ compris entre $ 0 $ et $ 1 $ tel que la somme de tous les $ p_{i} $ soit égale à $ 1 $.
- Un événement est un sous-ensemble de $ \Omega $.
Exemple
Le lancer d'un dé à six faces est une expérience aléatoire d'univers comportant 6 éventualités : $ \Omega =\left\{1; 2; 3; 4; 5; 6\right\} $
- L'ensemble $ E_{1}=\left\{2; 4; 6\right\} $ est un événement. En français, cet événement peut se traduire par la phrase : « le résultat du dé est un nombre pair »
- L'ensemble $ E_{2}=\left\{1; 2; 3\right\} $ est un autre événement. Ce second événement peut se traduire par la phrase : « le résultat du dé est strictement inférieur à 4 ».
Définition
- l'événement contraire de $ A $ noté $ \bar{A} $ est l'ensemble des éventualités de $ \Omega $ qui n'appartiennent pas à $ A $.
- l'événement $ A \cup B $ (lire « A union B » ou « A ou B » est constitué des éventualités qui appartiennent soit à A, soit à B, soit aux deux ensembles.
- l'événement $ A \cap B $ (lire « A inter B » ou « A et B » est constitué des éventualités qui appartiennent à la fois à A et à B.
Exemple
On reprend l'exemple précédent : $ E_{1}=\left\{2; 4; 6\right\} $ $ E_{2}=\left\{1; 2; 3\right\} $
- $ \overline{E}_{1}=\left\{1; 3; 5\right\} $ : cet événement peut se traduire par « le résultat est un nombre impair »
- $ E_{1} \cup E_{2}=\left\{1; 2; 3; 4; 6\right\} $ : cet événement peut se traduire par « le résultat est pair ou strictement inférieur à 4 »
- $ E_{1} \cap E_{2}=\left\{2\right\} $ : cet événement peut se traduire par « le résultat est pair et strictement inférieur à 4 »
Définition
On dit que A et B sont incompatibles si et seulement si $ A \cap B=\varnothing $
Remarque
Deux événements contraires sont incompatibles mais deux événements peuvent être incompatibles sans être contraires.
Exemple
« Obtenir un chiffre inférieur à 2 » et « obtenir un chiffre supérieur à 4 » sont deux événements incompatibles.
Propriété
- $ p\left(\varnothing\right)=0 $
- $ p\left(\Omega \right)=1 $
- $ p\left(\overline{A}\right)=1 - p\left(A\right) $
- $ p\left(A \cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right) - p\left(A \cap B\right) $.
Si A et B sont incompatibles, la dernière égalité devient :
- $ p\left(A \cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right) $.
2. Arbre
Lorsqu'une expérience aléatoire comporte plusieurs étapes, on utilise souvent un arbre pondéré pour la représenter.
Exemple
Dans une classe de Terminale, 52% de garçons et 48% de filles étaient candidats au baccalauréat.
80% des garçons et 85% des filles ont obtenu leur diplôme.
On choisit un élève au hasard et on note :
- $ G $ : l'événement « l'élève choisi est un garçon » ;
- $ F $ : l'événement « l'élève choisie est une fille » ;
- $ B $ : l'événement « l'élève choisi(e) a obtenu son baccalauréat ».
On peut représenter la situation à l'aide de l'arbre pondéré ci-dessous :
Le premier niveau indique le genre de l'élève ($ G $ ou $ F $) et le second indique l'obtention du diplôme ($ B $ ou $ \overline{B} $).
On inscrit les probabilités sur chacune des branches.
La somme des probabilités inscrites sur les branches partant d’un même nœud est toujours égale à 1.
3. Probabilités conditionnelles
Définition
Soit A et B deux événements tels que $ p\left(A\right)\neq 0 $, la probabilité de B sachant A est le nombre :
On peut aussi noter cette probabilité $ p\left(B/A\right) $.
Exemple
On reprend l'exemple du lancer d'un dé. La probabilité d'obtenir un chiffre pair sachant que le chiffre obtenu est strictement inférieur à 4 est (en cas d'équiprobabilité) :
Propriété (formule des probabilités composées)
Pour tous événements $ A $ et $ B $ tels que $ p\left(A\right)\neq 0 $ :
Démonstration
Par définition, $ p_{A}\left(B\right)=\dfrac{p\left(A \cap B\right)}{p\left(A\right)} $.
En multipliant les deux membres par $ p\left(A\right) $, qui est non nul, on obtient :
Remarques
- Cette formule sert essentiellement à calculer la probabilité de $ A \cap B $ lorsque l'on connaît $ p\left(A\right) $ et la probabilité conditionnelle $ p_{A}\left(B\right) $.
- Attention à ne pas confondre $ p_{A}\left(B\right) $ et $ p\left(A \cap B\right) $ dans les exercices.
On doit calculer $ p_{A}\left(B\right) $ lorsque l'on sait que $ A $ est réalisé. Avec un arbre pondéré, les probabilités conditionnelles figurent sur les branches du second niveau et des niveaux supérieurs (s'il y en a).
La probabilité inscrite sur la branche reliant $ A $ à $ B $ est $ p_A(B) $.
Typiquement, un arbre binaire à deux niveaux se présentera ainsi :
La formule $ p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(B\right) $ s'interprète alors de la façon suivante :
« La probabilité de l'événement $ A \cap B $ s'obtient en faisant le produit des probabilités inscrites sur le chemin passant par $ A $ et $ B $ ».
4. Événements indépendants
Définition
Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si :
Propriété
$ A $ et $ B $ sont indépendants si et seulement si :
Démonstration
D'après la formule des probabilités composées : $ p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(B\right) $.
Si $ A $ et $ B $ sont indépendants, alors $ p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right)\times p\left(B\right) $.
En égalant les deux expressions et en simplifiant par $ p\left(A\right)\neq 0 $, on obtient $ p_{A}\left(B\right)=p\left(B\right) $.
Réciproquement, si $ p_{A}\left(B\right)=p\left(B\right) $, alors $ p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(B\right)=p\left(A\right)\times p\left(B\right) $, donc $ A $ et $ B $ sont indépendants.
Remarque
Comme $ A \cap B=B \cap A $, $ A $ et $ B $ jouent des rôles symétriques. Ainsi, $ A $ et $ B $ sont indépendants si et seulement si $ p_{B}\left(A\right)=p\left(A\right) $.
Propriété (indépendance et événement contraire)
Si $ A $ et $ B $ sont indépendants, alors $ \overline{A} $ et $ B $ le sont aussi.
Démonstration
Supposons $ A $ et $ B $ indépendants : $ p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right)\times p\left(B\right) $.
D'après la formule des probabilités totales appliquée à la partition $ \left\{A, \overline{A}\right\} $ :
On en déduit :
Donc $ \overline{A} $ et $ B $ sont indépendants.
Remarque
Par symétrie, $ A $ et $ \overline{B} $ sont également indépendants, ainsi que $ \overline{A} $ et $ \overline{B} $.
5. Formule des probabilités totales
Définition
$ A_{1} $, $ A_{2} $, ... , $ A_{n} $ forment une partition de $ \Omega $ si et seulement si $ A_{1} \cup A_{2} . . . \cup A_{n}=\Omega $ et $ A_{i} \cap A_{j}=\varnothing $ pour $ i\neq j $.
Cas particulier fréquent
Pour toute partie $ A\subset\Omega $, $ A $ et $ \overline{A} $ forment une partition de $ \Omega $.
Propriété (Formule des probabilités totales)
Si $ A_{1} $, $ A_{2} $,... $ A_{n} $ forment une partition de $ \Omega $, pour tout événement $ B $, on a :
Cette formule peut également s'écrire à l'aide de probabilités conditionnelles :
Cas particulier fréquent
En utilisant la partition $ \left\{A, \overline{A}\right\} $, quels que soient les événements $ A $ et $ B $ avec $ p\left(A\right)\neq 0 $ et $ p\left(\overline{A}\right)\neq 0 $ :
Remarque
À l'aide d'un arbre pondéré, ce résultat s'interprète de la façon suivante :
« La probabilité de l'événement $ B $ est égale à la somme des probabilités des trajets menant à $ B $ ».
Les questions essentielles
1. Comment construire un arbre pondéré ?
On identifie les étapes successives de l'expérience, on trace une branche par événement à chaque niveau, et on inscrit sur chaque branche du second niveau une probabilité conditionnelle. La somme des probabilités issues d'un même nœud doit valoir $1$.
Voir la fiche méthode : Construire un arbre pondéré (probabilités conditionnelles)
2. Comment calculer une probabilité conditionnelle ?
On applique la formule $p_A(B) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}$, ou on lit directement la valeur sur la branche d'un arbre, ou on se restreint à la ligne/colonne pertinente d'un tableau à double entrée.
Voir la fiche méthode : Calculer une probabilité conditionnelle
3. Comment exploiter un tableau à double entrée ?
On lit les effectifs et le total $N$ : $p(A)$ s'obtient en divisant le total de la ligne ou colonne par $N$, $p(A \cap B)$ par la case croisant $A$ et $B$, et $p_A(B)$ en se restreignant à la ligne (ou colonne) de $A$.
Voir la fiche méthode : Utiliser un tableau à double entrée (probabilités conditionnelles)
4. Comment appliquer la formule des probabilités totales ?
On identifie une partition $\{A_1, \dots, A_n\}$ de l'univers, puis on applique $p(B) = p(A_1) \times p_{A_1}(B) + \dots + p(A_n) \times p_{A_n}(B)$. Le cas le plus fréquent est la partition $\{A, \overline A\}$.
Voir la fiche méthode : Appliquer la formule des probabilités totales
5. Comment démontrer que deux événements sont indépendants ?
On compare $p(A \cap B)$ au produit $p(A) \times p(B)$ : s'ils sont égaux, $A$ et $B$ sont indépendants. Sinon, ils ne le sont pas. On peut aussi vérifier $p_A(B) = p(B)$.
Voir la fiche méthode : Démontrer (ou réfuter) l'indépendance de deux événements