Probabilités : Événements indépendants

Une boite contient un assortiment de chocolats noirs et de chocolats au lait.

Certains chocolats contiennent de l'alcool, d'autres non.

On choisit un chocolat au hasard dans cette boite.

On note :
$A$ : l'événement "le chocolat choisi contient de l'alcool"
$N$ : l'événement "le chocolat choisi est noir"

On sait que $90$ % des chocolats noirs contiennent de l'alcool et que $90$ % des chocolats contenant de l'alcool sont noirs.

Que peut-on en déduire concernant l'indépendance des événements $A$ et $N$ ?
Indication : On pourra rechercher des exemples de compositions vérifiant les conditions de l'énoncé

Corrigé

Les indications de l'énoncé suggèrent que les événements $A$ et $N$ sont fortement corrélés et ne sont donc pas indépendants. En fait, il n'en n'est rien : les données de l'énoncé sont insuffisantes pour déterminer si les événements $A$ et $N$ sont ou non indépendants.

Prenons un premier exemple pour montrer que $A$ et $N$ peuvent être indépendants.

Supposons que la composition de la boite soit la suivante :

	noir	au lait	total
avec alcool	81	9	90
sans alcool	9	1	10
total	90	10	100

Cette boite vérifie bien les conditions de l'énoncé :

p_N(A)=\frac{81}{90}=90

p_A(N)=\frac{81}{90}=90

Par ailleurs :

$p(A \cap N)=\frac{81}{100}$

$p(A)=\frac{90}{100}=\frac{9}{10}$

$p(N)=\frac{90}{100}=\frac{9}{10}$

$p(A \cap N)=p(A) \times p(N)$

donc pour cet exemple $A$ et $N$ sont indépendants.

On peut aussi trouver un exemple pour lequel $A$ et $N$ ne sont pas indépendants.

Imaginons la composition suivante :

	noir	au lait	total
avec alcool	81	9	90
sans alcool	9	2	11
total	90	11	101

On a toujours :

$p_N(A)=\frac{81}{90}=90$ %

$p_A(N)=\frac{81}{90}=90$ %

Mais cette fois :

$p(A \cap N)=\frac{81}{101}$

$p(A)=\frac{90}{101}$

$p(N)=\frac{90}{101}$

$p(A \cap N) \neq p(A) \times p(N)$

donc cette fois $A$ et $N$ ne sont pas indépendants.

Avec les seules données de l'énoncé, il est donc impossible d'établir si les événements $A$ et $N$ sont indépendants.

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