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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Probabilités : Événements indépendants

Une boite contient un assortiment de chocolats noirs et de chocolats au lait. Certains chocolats contiennent de l'alcool, d'autres non. On choisit un chocolat au hasard dans cette boite. On note : On sait que [latex]90[/latex]% des chocolats noirs contiennent de l'alcool et que [latex]90[/latex]% des chocolats contenant de l'alcool sont noirs. Que peut-on en déduire concernant l'indépendance des événements [latex]A[/latex] et [latex]N[/latex] ? Indication : On pourra rechercher des exemples de compositions vérifiant les conditions de l'énoncé

Corrigé

Les indications de l'énoncé suggèrent que les événements [latex]A[/latex] et [latex]N[/latex] sont fortement corrélés et ne sont donc pas indépendants. En fait, il n'en n'est rien : les données de l'énoncé sont insuffisantes pour déterminer si les événements [latex]A[/latex] et [latex]N[/latex] sont ou non indépendants.
  1. Prenons un premier exemple pour montrer que [latex]A[/latex] et [latex]N[/latex] peuvent être indépendants.Supposons que la composition de la boite soit la suivante : [table class="compact"]|noir|au lait|total avec alcool|81|9|90 sans alcool|9|1|10 total|90|10|100[/table] Cette boite vérifie bien les conditions de l'énoncé : [latex]p_N(A)=\frac{81}{90}=90[/latex]% [latex]p_A(N)=\frac{81}{90}=90[/latex]% Par ailleurs : [latex]p(A \cap N)=\frac{81}{100}[/latex] [latex]p(A)=\frac{90}{100}=\frac{9}{10}[/latex] [latex]p(N)=\frac{90}{100}=\frac{9}{10}[/latex] [latex]p(A \cap N)=p(A) \times p(N)[/latex] donc pour cet exemple [latex]A[/latex] et [latex]N[/latex] sont indépendants.
  2. On peut aussi trouver un exemple pour lequel [latex]A[/latex] et [latex]N[/latex] ne sont pas indépendants. Imaginons la composition suivante : [table class="compact"]|noir|au lait|total avec alcool|81|9|90 sans alcool|9|2|11 total|90|11|101[/table] On a toujours : [latex]p_N(A)=\frac{81}{90}=90[/latex]% [latex]p_A(N)=\frac{81}{90}=90[/latex]% Mais cette fois : [latex]p(A \cap N)=\frac{81}{101}[/latex] [latex]p(A)=\frac{90}{101}[/latex] [latex]p(N)=\frac{90}{101}[/latex] [latex]p(A \cap N) \neq p(A) \times p(N)[/latex] donc cette fois [latex]A[/latex] et [latex]N[/latex] ne sont pas indépendants.
Avec les seules données de l'énoncé, il est donc impossible d'établir si les événements [latex]A[/latex] et [latex]N[/latex] sont indépendants.