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Suites et algorithmes - Bac blanc ES/L Sujet 5 - Maths-cours 2018

Exercice 4 (4 points)

On considère la suite géométrique (un)(u_n) de premier terme u0=1 000{u_0= 1~000} et de raison q=0,9{q=0,9}.

  1. Exprimer unu_n en fonction de nn.

  2. On pose Sn=u0+u1+u2++unS_n=u_0+u_1+u_2+ \cdots +u_n.

    Compléter l'algorithme ci-après afin qu'il calcule et affiche la valeur de S10S_{10}.

    Algorithme de calcul de la somme S10

  3. Montrer que, pour tout entier naturel nn :

    Sn=10 000(10,9n+1). S_n=10~000 \left( 1 - 0,9^{n+1} \right).

    En déduire la valeur affichée en sortie de l'algorithme précédent.

    On arrondira le résultat à l'unité.

  4. Quelle est la limite de la somme SnS_n lorsque nn tend vers ++\infty ?

  5. Déterminer, par la méthode de votre choix, la plus petite valeur de l'entier nn telle que :

    Sn>9 000. S_n > 9~000.

Corrigé

  1. La suite (un)(u_n) étant une suite géométrique, pour tout entier naturel nn :

    un=u0×qn=1 000×0,9nu_n=u_0 \times q^n=1~000 \times 0,9^n.

  2. L'algorithme calculant et affichant la valeur de S10S_{10} peut être complété comme suit :

    Algorithme de calcul de S10 complété

    En pratique

    Pour calculer la somme S=u0+u1++unS=u_0+u_1+ \cdots + u_n à l'aide d'un algorithme :

    • On initialise SS à 0.

    • On cumule les termes de la suite (un)(u_n) dans la variable SS grâce à une instruction du type :

      Pour i=0i=0 à nn faire :
      S\phantom{ - }S prend la valeur S+S+uiu_i>
      Fin Pour

  3. D'après la question 1. :

    u0=1 000u_0=1~000
    u1=1 000×0,9u_1=1~000 \times 0,9
    u2=1 000×0,92u_2=1~000 \times 0,9^2
    \qquad \cdots
    un=1 000×0,9nu_n=1~000 \times 0,9^n .

    On a alors :

    Sn=1 000+1 000×0,9+1 000×0,92+S_n=1~000 + 1~000 \times 0,9 + 1~000 \times 0,9^2 ++1 000×0,9n \cdots + 1~000 \times 0,9^n.

    En mettant 1 000 en facteur, on obtient :

    Sn=1 000 (1+0,9+0,92++0,9n)S_n=1~000~\left( 1 + 0,9 + 0,9^2 + \cdots + 0,9^n \right).

    Or :

    1+0,9++0,92++0,9n=10,9n+110,91+0,9++0,9^{2}+\cdots+0,9^{n}=\dfrac{1 - 0,9^{n+1}}{1 - 0,9}=10,9n+10,1=10(10,9n+1)=\dfrac{1 - 0,9^{n+1}}{0,1}=10 \left(1 - 0,9^{n+1} \right).

    Donc :

    Sn=1 000×10(10,9n+1)S_n=1~000 \times 10 \left(1 - 0,9^{n+1} \right)
    Sn=10 000(10,9n+1)\phantom{S_n}=10~000 \left( 1 - 0,9^{n+1} \right).

    À retenir

    La formule suivante permet de calculer la somme des premiers termes d'une suite géométrique :

    1+q+q2++qn=1qn+11q. 1+q+q^2+\cdots+q^{n}=\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.

    L'algorithme précédent affiche la valeur S10S_{10} c'est à dire :

    S10=10 000(10,911)6 862 S_{10}=10~000 \left( 1 - 0,9^{11} \right) \approx 6~862~ (arrondi à l'unité).

  4. 00,9<10 \leqslant 0,9 < 1 donc limn+0,9n=0\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}0,9 ^n = 0.

    Comme 0,9n+1=0,9×0,9n0,9^{n+1} = 0,9 \times 0,9 ^n, alors limn+0,9n+1=0{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}0,9 ^{n+1} = 0}.

    Par conséquent :

    limn+(10,9n+1)=1{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\left(1 - 0,9 ^{n+1}\right) = 1} et limn+(10 000(10,9n+1))=10 000{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\left(10~000 \left( 1 - 0,9^{n+1} \right)\right) = 10~000}.

    La somme SnS_n tend vers 10 000 lorsque nn tend vers ++\infty.

  5. Méthode 1 : À la calculatrice

    La suite SnS_n est croissante. À l'aide d'un tableau de valeurs pour la fonction x10 000(10,9x+1)x \longmapsto 10~000 \left( 1 - 0,9^{x+1} \right), on trouve :

    S208 905etS219 015. S_{20} \approx 8~905 \quad \text{et} \quad S_{21} \approx 9~015.

    La plus petite valeur de l'entier nn telle que Sn>9 000S_n > 9~000 est donc 2121. \vspace{0.5cm}

    Méthode 2 : Par le calcul

    Sn>9 000  10 000(10,9n+1)>9 000S_n > 9~000 ~ \Leftrightarrow ~10~000 \left( 1 - 0,9^{n+1}\right) > 9~000
    Sn>9 000  10,9n+1>0,9 \phantom{S_n > 9~000 ~} \Leftrightarrow ~ 1 - 0,9^{n+1} > 0,9
    Sn>9 000  0,9n+1>0,1 \phantom{S_n > 9~000 ~} \Leftrightarrow ~ - 0,9^{n+1} > - 0,1
    Sn>9 000  0,9n+1<0,1 \phantom{S_n > 9~000 ~} \Leftrightarrow ~ 0,9^{n+1} < 0,1

    La fonction ln\ln étant strictement croissante sur ]0 ; +[]0~;~+\infty[ :

    Sn>9 000  ln(0,9n+1)<ln(0,1)S_n > 9~000 ~ \Leftrightarrow ~ \ln \left(0,9^{n+1} \right) < \ln (0,1)
    Sn>9 000  (n+1)ln(0,9)<ln(0,1)\phantom{S_n > 9~000 ~ } \Leftrightarrow ~ (n+1)\ln (0,9) < \ln (0,1)

    0,9<10,9 < 1 donc ln(0,9)<0\ln (0,9) < 0 ; par conséquent :

    Sn>9 000  n+1>ln(0,1)ln(0,9)S_n > 9~000 ~\Leftrightarrow ~n+1 > \dfrac{\ln (0,1)}{\ln (0,9)}
    Sn>9 000  n>ln(0,1)ln(0,9)1\phantom{S_n > 9~000 ~} \Leftrightarrow ~ n > \dfrac{\ln (0,1)}{\ln (0,9)} - 1

    ln(0,1)ln(0,9)120,9\dfrac{\ln (0,1)}{\ln (0,9)} - 1 \approx 20,9 (arrondi au dixième)

    La plus petite valeur de l'entier nn telle que Sn>9 000S_n > 9~000 est donc 2121.

    Attention

    Lorsque 0<α<10 < \alpha < 1, ln(α)\ln(\alpha) est strictement négatif.

    Il faut donc penser à changer le sens de l'inégalité lorsque l'on divise par ln(α)\ln(\alpha).