La suite $(u_n)$ étant une suite géométrique, pour tout entier naturel $n$ :

$u_n=u_0 \times q^n=1~000 \times 0,9^n$.

L'algorithme calculant et affichant la valeur de $S_{10}$ peut être complété comme suit :

D'après la question 1. :

$u_0=1~000$
$u_1=1~000 \times 0,9$
$u_2=1~000 \times 0,9^2$
$\qquad \cdots$
$u_n=1~000 \times 0,9^n$.

On a alors :

$S_n=1~000 + 1~000 \times 0,9 + 1~000 \times 0,9^2 +$$\cdots + 1~000 \times 0,9^n$.

En mettant 1 000 en facteur, on obtient :

$S_n=1~000~\left( 1 + 0,9 + 0,9^2 + \cdots + 0,9^n \right)$.

Or :

$1+0,9++0,9^{2}+\cdots+0,9^{n}=\dfrac{1 - 0,9^{n+1}}{1 - 0,9}$$=\dfrac{1 - 0,9^{n+1}}{0,1}=10 \left(1 - 0,9^{n+1} \right)$.

Donc :

$S_n=1~000 \times 10 \left(1 - 0,9^{n+1} \right)$
$\phantom{S_n}=10~000 \left( 1 - 0,9^{n+1} \right)$.

L'algorithme précédent affiche la valeur $S_{10}$ c'est à dire :

$S_{10}=10~000 \left( 1 - 0,9^{11} \right) \approx 6~862~$ (arrondi à l'unité).

$0 \leqslant 0,9 < 1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}0,9 ^n = 0$.

Comme $0,9^{n+1} = 0,9 \times 0,9 ^n$, alors ${\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}0,9 ^{n+1} = 0}$.

Par conséquent :

${\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\left(1 - 0,9 ^{n+1}\right) = 1}$ et ${\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\left(10~000 \left( 1 - 0,9^{n+1} \right)\right) = 10~000}$.

La somme $S_n$ tend vers 10 000 lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

Méthode 1 : À la calculatrice

La suite $S_n$ est croissante. À l'aide d'un tableau de valeurs pour la fonction $x \longmapsto 10~000 \left( 1 - 0,9^{x+1} \right)$, on trouve :

La plus petite valeur de l'entier $n$ telle que $S_n > 9~000$ est donc $21$. \vspace{0.5cm}

Méthode 2 : Par le calcul

$S_n > 9~000 ~ \Leftrightarrow ~10~000 \left( 1 - 0,9^{n+1}\right) > 9~000$
$\phantom{S_n > 9~000 ~} \Leftrightarrow ~ 1 - 0,9^{n+1} > 0,9$
$\phantom{S_n > 9~000 ~} \Leftrightarrow ~ - 0,9^{n+1} > - 0,1$
$\phantom{S_n > 9~000 ~} \Leftrightarrow ~ 0,9^{n+1} < 0,1$

La fonction $\ln$ étant strictement croissante sur $]0~;~+\infty[$ :

$S_n > 9~000 ~ \Leftrightarrow ~ \ln \left(0,9^{n+1} \right) < \ln (0,1)$
$\phantom{S_n > 9~000 ~ } \Leftrightarrow ~ (n+1)\ln (0,9) < \ln (0,1)$

$0,9 < 1$ donc $\ln (0,9) < 0$ ; par conséquent :

$S_n > 9~000 ~\Leftrightarrow ~n+1 > \dfrac{\ln (0,1)}{\ln (0,9)}$
$\phantom{S_n > 9~000 ~} \Leftrightarrow ~ n > \dfrac{\ln (0,1)}{\ln (0,9)} - 1$

$\dfrac{\ln (0,1)}{\ln (0,9)} - 1 \approx 20,9$ (arrondi au dixième)

La plus petite valeur de l'entier $n$ telle que $S_n > 9~000$ est donc $21$.