Affirmation 1 : $f^{\prime}(1)=0$ : VRAI.

• Méthode 1 : À l'aide du graphique

  La tangente $\mathscr{D}$ à la courbe $\mathscr{C_f}$ au point $A$ est parallèle à l'axe des abscisses.

  $f^{\prime}(1)$ est le coefficient directeur de $\mathscr{D}$ donc $f^{\prime}(1)=0$.

  À retenir

  Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $\alpha$ est égal à $f^{\prime}(\alpha)$.

  Si cette tangente est parallèle à l'axe des abscisses, $f^{\prime}(\alpha) = 0$.

• Méthode 2 : Par le calcul

  $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~5]$ comme somme de fonctions dérivables et :

  $f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x} - 1$.

  Par conséquent :

  $f^{\prime}(1)=\dfrac{1}{1} - 1=0$.

Affirmation 2 : Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~5]$, $f^{\prime \prime}(x)>0$ : FAUX.

Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~5]$, $f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x} - 1$ (voir question précédente). $f^{\prime}$ est dérivable sur $]0~;~5]$ et :

$f^{\prime \prime}(x)= - \dfrac{1}{x^2}.$

$f^{\prime \prime}$ est strictement négative sur l'intervalle $]0~;~5]$, donc la proposition est fausse.

Affirmation 3 : La courbe $\mathscr{C}_f$ possède un et un seul point d'inflexion : FAUX.

$f$ étant deux fois dérivable, la courbe $\mathscr{C_f}$ possède un point d'inflexion sur l'intervalle $]0~;~5]$ si et seulement $f^{\prime \prime}$ s'annule et change de signe en ce point. Or, d'après la question précédente, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~5]$, $f^{\prime \prime}(x)<0$ donc la courbe $\mathscr{C_f}$ ne possède pas de point d'inflexion.

Affirmation 4 : $1 \leqslant \displaystyle\int_{1}^{2}f(x)\text{d}x \leqslant 2$ : VRAI.

La fonction $f$ étant positive sur l'intervalle $]0~;~5]$, l'intégrale $\displaystyle\int_{1}^{2}f(x)\text{d}x$ est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $\mathscr{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$.

Or, sur la figure, l'unité d'aire correspond à un carré du quadrillage. On voit donc facilement que :

Affirmation 5 : La fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0~;~5]$ par $F(x) = x\ln x - \dfrac{x^2}{2} + 3x$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~5]$ : FAUX.

Pour tout réel $x$ strictement positif, posons :

On en déduit :

Par conséquent :

$(uv)^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)v(x)+u(x)v^{\prime}(x)=\ln x+x \times \dfrac{1}{x}=\ln x + 1$

et :

$F^{\prime}(x)=\ln x + 1 - \dfrac{2x}{2} + 3 = \ln x - x + 4$.

La fonction $F^{\prime}$ est différente de la fonction $f$ donc $F$ n'est pas une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~5]$.