Loi normale - Estimation - Bac blanc ES/L Sujet 5 - Maths-cours 2018
Exercice 1 (5 points)
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
La durée de vie, en heures, d'une lampe à incandescence peut être modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne et d'écart-type .
Déterminer la probabilité que la durée de vie d'une lampe à incandescence soit supérieure à heures. On donnera une valeur approchée à près.
Déterminer la valeur du réel , arrondie à la centaine, telle que :
Interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.
Parmi les quatre graphiques proposés ci-après, l'un d'eux représente la fonction de densité de probabilité associée à la loi normale de moyenne et d'écart-type .
Graphique 1.
Graphique 2.
Graphique 3.
Graphique 4.
Lequel ?
Justifier votre réponse.
Partie B
Un fabriquant de lampes halogènes affirme que des lampes qu'il produit ont une durée de vie supérieure à 3\ 000 heures.
Afin de vérifier cette affirmation, un laboratoire indépendant effectue un test sur 200 lampes choisies au hasard chez ce fabriquant.
Il s'avère que seulement 140 d'entre elles ont une durée de vie supérieure à 3\ 000 heures.
Déterminer, pour ce fabriquant, un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de de la proportion de lampes ayant une durée de vie supérieure à 3\ 000 heures pour un échantillon de taille 200.
Les résultats du test mené par le laboratoire remettent-ils en cause l'affirmation du fabriquant ?
Corrigé
Partie A
On cherche la probabilité de l'événement .
À la calculatrice, on trouve :
On recherche la valeur du réel tel que :
À la calculatrice, on trouve :
(arrondi à la centaine).
Le graphique correct est le graphique 1.
La moyenne d'une loi binomiale correspond à l'abscisse du sommet de la courbe de Gauss.
Cela permet d'éliminer immédiatement les graphiques 2. et 4. pour lesquels .
On sait que, pour une loi normale de moyenne et d'écart-type :
C'est à dire ici :
Or, représente l'aire, en unité d'aire, du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations et .
Par ailleurs, l'aire totale du domaine compris entre la courbe et l'axe des abscisses vaut 1 unité d'aire.
Pour le graphique 1., il est tout à fait raisonnable de penser que l'aire comprise entre les abscisses 800 et 1\ 200 représente 68% de l'aire totale (voir figure ci-après).
Graphique 1.
Par contre, pour le graphique 3., l'aire comprise entre les abscisses 800 et 1\ 200 représente pratiquement 100% de l'aire totale (voir figure ci-après) ; ce graphique ne convient donc pas.
Graphique 3.
À retenir
Si la variable aléatoire suit une loi normale d'espérance et d'écart-type , alors :
(à près) ;
(à près) ;
(à près).
En pratique
Pour une variable aléatoire qui suit une loi normale d'espérance et d'écart-type :
correspond à l'abscisse du sommet de la courbe ;
plus l'écart-type est grand, plus la « cloche » est évasée ;
environ 68% de l'aire située entre la courbe et l'axe des abscisses est comprise entre les abscisses et .
Partie B
D'après le fabriquant, la proportion théorique de lampes ayant une durée de vie supérieure à 3\ 000 heures est .
La taille de l'échantillon est .
On vérifie que :
;
;
.
Les conditions de validité étant remplies, l'intervalle cherché est :
\vspace{1cm}
(arrondi au millième).
(arrondi au millième).
L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de de la proportion de lampes ayant une durée de vie supérieure à 3\ 000 heures pour un échantillon de taille 200 est donc :
À retenir
On note :
: la taille de l'échantillon,
: la fréquence du caractère dans l'échan\-til\-lon,
: la proportion (connue ou supposée) du caractère dans la population.
Si les conditions \bm{n\geqslant 30}, \bm{np\geqslant 5} et \bm{n\left(1 - p\right)\geqslant 5} sont vérifiées, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est :
Sur l'échantillon de 200 lampes, 140 ont une durée de vie supérieure à 3\ 000 heures.
Cela correspond à une fréquence observée de :
.
Or appartient à l'intervalle de fluctuation trouvé à la question précédente.
Au seuil de 95%, les résultats du test ne remettent pas en cause l'affirmation du fabriquant.
En pratique
En pratique, pour valider ou rejeter une hypothèse à l'aide d'un intervalle de fluctuation asymptotique :
On détermine l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% en prenant pour la proportion supposée du caractère dans l'ensemble de la population.
On calcule la fréquence observée du caractère dans l'échantillon.
Si appartient à l'intervalle on valide l'hypothèse.
Si n'appartient pas à l'intervalle on rejette l'hypothèse. Le risque d'erreur en rejetant l'hypothèse est alors inférieur 5%.