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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Loi normale - Estimation - Bac blanc ES/L Sujet 5 - Maths-cours 2018

Exercice 1 (5 points)

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

La durée de vie, en heures, d'une lampe à incandescence peut être modélisée par une variable aléatoire XX qui suit la loi normale de moyenne μ=1 000\mu =1\ 000 et d'écart-type σ=200\sigma = 200.

  1. Déterminer la probabilité que la durée de vie d'une lampe à incandescence soit supérieure à 1 4001\ 400 heures. On donnera une valeur approchée à 10310^{ - 3} près.

  2. Déterminer la valeur du réel mm, arrondie à la centaine, telle que :

    p(Xm)=0,16. p(X \geqslant m) = 0,16.

    Interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.

  3. Parmi les quatre graphiques proposés ci-après, l'un d'eux représente la fonction de densité de probabilité associée à la loi normale de moyenne μ=1 000\mu =1\ 000 et d'écart-type σ=200\sigma = 200.

    Graphique loi normale Proposition 1

    Graphique 1.

    Graphique loi normale Proposition 2

    Graphique 2.

    Graphique loi normale Proposition 3

    Graphique 3.

    Graphique loi normale Proposition 4

    Graphique 4.

    Lequel ?

    Justifier votre réponse.

Partie B

Un fabriquant de lampes halogènes affirme que 75%75\% des lampes qu'il produit ont une durée de vie supérieure à 3\ 000 heures.

Afin de vérifier cette affirmation, un laboratoire indépendant effectue un test sur 200 lampes choisies au hasard chez ce fabriquant.

Il s'avère que seulement 140 d'entre elles ont une durée de vie supérieure à 3\ 000 heures.

  1. Déterminer, pour ce fabriquant, un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%95\% de la proportion de lampes ayant une durée de vie supérieure à 3\ 000 heures pour un échantillon de taille 200.

  2. Les résultats du test mené par le laboratoire remettent-ils en cause l'affirmation du fabriquant ?

Corrigé

Partie A

  1. On cherche la probabilité de l'événement (X>1 400)(X>1~400).

    À la calculatrice, on trouve :

    p(X>1 400)0,023 (au millième près). p(X>1~400) \approx 0,023\ \text{(au millième près)}.

  2. On recherche la valeur du réel mm tel que :

    p(Xm)=0,16. p(X \geqslant m) = 0,16.

    À la calculatrice, on trouve :

    m1200 m \approx 1200\ (arrondi à la centaine).

  3. Le graphique correct est le graphique 1.

    La moyenne μ\mu d'une loi binomiale correspond à l'abscisse du sommet de la courbe de Gauss.

    Cela permet d'éliminer immédiatement les graphiques 2. et 4. pour lesquels μ=200\mu =200.

    On sait que, pour une loi normale de moyenne μ\mu et d'écart-type σ\sigma :

    p(μσXμ+σ)0,68. p(\mu - \sigma \leqslant X \leqslant\mu +\sigma ) \approx 0,68.

    C'est à dire ici :

    p(800X1 200)0,68=68%. p(800 \leqslant X \leqslant 1\ 200 ) \approx 0,68 = 68\%.

    Or, p(800X1 200p(800 \leqslant X \leqslant 1\ 200 représente l'aire, en unité d'aire, du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=800x=800 et x=1 200x=1\ 200.

    Par ailleurs, l'aire totale du domaine compris entre la courbe et l'axe des abscisses vaut 1 unité d'aire.

    Pour le graphique 1., il est tout à fait raisonnable de penser que l'aire comprise entre les abscisses 800 et 1\ 200 représente 68% de l'aire totale (voir figure ci-après).

    Graphique loi normale Solution 1

    Graphique 1.

    Par contre, pour le graphique 3., l'aire comprise entre les abscisses 800 et 1\ 200 représente pratiquement 100% de l'aire totale (voir figure ci-après) ; ce graphique ne convient donc pas.

    Graphique loi normale Solution 3

    Graphique 3.

    À retenir

    Si la variable aléatoire XX suit une loi normale d'espérance μ\mu et d'écart-type σ\sigma, alors :

    • p(μσXμ+σ)0,68p\left(\mu - \sigma \leqslant X\leqslant \mu + \sigma \right)\approx 0,6810210^{ - 2} près) ;

    • p(μ2σXμ+2σ)0,95p\left(\mu - 2\sigma \leqslant X\leqslant \mu + 2\sigma \right)\approx 0,9510210^{ - 2} près) ;

    • p(μ3σXμ+3σ)0,997p\left(\mu - 3\sigma \leqslant X\leqslant \mu + 3\sigma \right)\approx 0,99710310^{ - 3} près).

    En pratique

    Pour une variable aléatoire XX qui suit une loi normale d'espérance μ\mu et d'écart-type σ\sigma :

    • μ\mu correspond à l'abscisse du sommet de la courbe ;

    • plus l'écart-type σ\sigma est grand, plus la « cloche » est évasée ;

    • environ 68% de l'aire située entre la courbe et l'axe des abscisses est comprise entre les abscisses μσ\mu - \sigma et μ+σ\mu + \sigma .

Partie B

  1. D'après le fabriquant, la proportion théorique de lampes ayant une durée de vie supérieure à 3\ 000 heures est p=0,75p=0,75.

    La taille de l'échantillon est n=200n=200.

    On vérifie que :

    • n=20030n=200 \geqslant 30 ;

    • np=200×0,75=1505np=200 \times 0,75=150 \geqslant 5 ;

    • n(1p)=200×0,25=505n(1 - p)=200 \times 0,25=50 \geqslant 5.

    Les conditions de validité étant remplies, l'intervalle cherché est :

    I=[p1,96p(1p)n ; p+1,96p(1p)n]. I=\left[p - 1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}\right].

    \vspace{1cm}

    p1,96p(1p)n=0,751,960,75(10,75)200p - 1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}=0,75 - 1,96\dfrac{\sqrt{0,75(1 - 0,75)}}{\sqrt{200}}

    p1,96p(1p)n0,690\phantom{p - 1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}} \approx 0,690 (arrondi au millième).

    p+1,96p(1p)n=0,75+1,960,75(10,75)200p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}=0,75+1,96\dfrac{\sqrt{0,75(1 - 0,75)}}{\sqrt{200}}

    p+1,96p(1p)n0,810\phantom{p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}} \approx 0,810 (arrondi au millième).

    L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%95\% de la proportion de lampes ayant une durée de vie supérieure à 3\ 000 heures pour un échantillon de taille 200 est donc :

    I=[0,69 ; 0,81]. I=[0,69~;~0,81].

    À retenir

    On note :

    • nn : la taille de l'échantillon,

    • ff : la fréquence du caractère dans l'échan\-til\-lon,

    • pp : la proportion (connue ou supposée) du caractère dans la population.

    Si les conditions \bm{n\geqslant 30}, \bm{np\geqslant 5} et \bm{n\left(1 - p\right)\geqslant 5} sont vérifiées, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est :

    I=[p1,96p(1p)n ; p+1,96p(1p)n]. I=\left[ p - 1,96\frac{\sqrt{p\left(1 - p\right)}}{\sqrt{n}}~ ; ~p+1,96 \frac{\sqrt{p\left(1 - p\right)}}{\sqrt{n}} \right].

  2. Sur l'échantillon de 200 lampes, 140 ont une durée de vie supérieure à 3\ 000 heures.

    Cela correspond à une fréquence observée de :

    f=140200=0,7f=\dfrac{140}{200}=0,7.

    Or f=0,7f=0,7 appartient à l'intervalle de fluctuation II trouvé à la question précédente.

    Au seuil de 95%, les résultats du test ne remettent pas en cause l'affirmation du fabriquant.

    En pratique

    En pratique, pour valider ou rejeter une hypothèse à l'aide d'un intervalle de fluctuation asymptotique :

    • On détermine l'intervalle de fluctuation asymptotique II au seuil de 95% en prenant pour pp la proportion supposée du caractère dans l'ensemble de la population.

    • On calcule la fréquence observée ff du caractère dans l'échantillon.

    • Si ff appartient à l'intervalle II on valide l'hypothèse.

    • Si ff n'appartient pas à l'intervalle II on rejette l'hypothèse. Le risque d'erreur en rejetant l'hypothèse est alors inférieur 5%.