Partie A

1. On traduit les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets $T$ et $\overline{T}$:

   

2. La matrice de transition de ce graphe en considérant les sommets dans l'ordre $T$, $\overline{T}$ est:

   $M= \begin{pmatrix} 0,95 & 0,05\\ 0,2 & 0,8 \end{pmatrix}.$

3. Les états stables sont les matrices-ligne $P = (a\quad b)$ telles que ${a + b = 1}$ et ${PM = P}$.

   $PM=P \Leftrightarrow \begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,95 & 0,05 \\ 0,2 & 0,8 \end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix}$

   $\phantom{PM=P} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 0,95a+0,2b & 0,05a+0,8b\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix}$

   $\phantom{PM=P} \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{r c l} 0,95a+0,2b &=& a\\ 0,05a+0,8b &=& b \end{array} \right.$

   $\phantom{PM=P} \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{r c l} - 0,05a+0,2b &=& 0\\ 0,05a - 0,2b &=& 0 \end{array} \right.$

   $\phantom{PM=P} \Leftrightarrow 0,05a - 0,2b = 0$.

   Or $a+b=1$ ; donc $b=1 - a$ et:

   $0,05a - 0,2(1 - a) = 0$

   $0,25a - 0,2 = 0$

   $a = \dfrac{0,2}{0.25}=0,8$.

   Et $b=1 - a=1 - 0,8=0,2$.

   L'état stable du graphe est donc $P=\begin{pmatrix} 0,8 & 0,2 \end{pmatrix}$.

   Au fil du temps, le pourcentage de clients qui choisiront l'assurance « Tranquillité » se rapprochera de 80% ($=0,8$).

Partie B

1. On complète l'algorithme comme suit :

   

2. L'algorithme affiche l'année à partir de laquelle plus de 70% des titulaires d'une carte de crédit auront souscrit à l'assurance « Tranquillité ».

   Pour trouver cette année, il nous faut donc résoudre l'inéquation $a_n > 0,7$.

   D'après l'énoncé $a_{n}=0,8(1 - 0,75^n)$ donc :

   $a_n > 0,7 \Leftrightarrow 0,8(1 - 0,75^n) > 0,7$
   $\phantom{ a_n > 0,7 } \Leftrightarrow \ 1 - 0,75^n > \dfrac{0,7}{0,8}$
   $\phantom{ a_n > 0,7 } \Leftrightarrow \ 1 - 0,75^n > \dfrac{7}{8}$
   $\phantom{ a_n > 0,7 } \Leftrightarrow \ - 0,75^n > \dfrac{7}{8} - 1$
   $\phantom{ a_n > 0,7 } \Leftrightarrow \ - 0,75^n > - \dfrac{1}{8}$
   $\phantom{ a_n > 0,7 } \Leftrightarrow \ 0,75^n < \dfrac{1}{8}$

   La fonction $\ln$ étant strictement croissante sur $]0~;~+\infty[$ :

   $a_n > 0,7 \Leftrightarrow \ \ln \left(0,75^n \right) < \ln \left(\dfrac{1}{8}\right)$
   $\phantom{ a_n > 0,7 } \Leftrightarrow \ n\ln (0,75) < - \ln (8)$

   Or $0,9 < 1$ donc $\ln (0,75)$ est strictement négatif ; par conséquent :

   $a_n > 0,7 \Leftrightarrow \ n > \dfrac{ - \ln (8)}{\ln (0,75)}$

   À la calculatrice : $\dfrac{ - \ln (8)}{\ln (0,75)} - 1 \approx 7,2$ (arrondi au dixième).

   La plus petite valeur de l'entier $n$ telle que $a_n > 0,7$, est donc $8$.

   Par conséquent, l'algorithme affichera l'année 2015+8=2023.