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Fonctions et intégrales - Bac blanc ES/L Sujet 5 - Maths-cours 2018

Exercice 3 (6 points)

Une entreprise fabrique et commercialise des VTT (vélos tout terrain).

Les bénéfices (ou les pertes) mensuels de cette entreprise, en centaines d'euros, peuvent être modélisés par la fonction ff définie sur l'intervalle [0 ; 5][0~;~5] par :

f(x)=xex−2ex−6. f(x)=x \text{e}^{x} - 2 \text{e}^{x} - 6.

où xx représente le nombre de vélos, en milliers, vendus mensuellement.

Si f(x)f(x) est positif, l'entreprise réalise un bénéfice et dans le cas contraire, elle subit une perte.

  1. On note f′f^{\prime} la fonction dérivée de la fonction ff sur l'intervalle [0 ; 5][0~;~5].

    Montrer que pour tout réel x∈[0 ; 5]x \in [0~;~5] :

    f′(x)=(x−1)ex. f^{\prime}(x)=(x - 1) \text{e}^{x}.

  2. Dresser le tableau de variations de ff sur l'intervalle [0 ; 5][0~;~5].

    1. Montrer l'équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution x0x_0 sur l'intervalle [0 ; 5][0~;~5].

    2. Donner une valeur approchée de x0x_0 à 10−310^{ - 3} près.

    3. Étudier le signe de la fonction ff sur l'intervalle [0 ; 5][0~;~5].

    4. Combien de vélos, au minimum, l'entreprise doit-elle vendre pour réaliser des bénéfices ?

    1. Pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [0 ; 5][0~;~5], on pose :

      g(x)=(x−3)ex. g(x)=(x - 3)\text{e}^{x}.

      Montrer que, sur l'intervalle [0 ; 5][0~;~5], g′(x)=xex−2exg^{\prime}(x)=x\text{e}^{x} - 2\text{e}^{x}.

    2. En déduire une primitive FF de la fonction ff sur l'intervalle [0 ; 5][0~;~5].

    3. Donner une valeur approchée, à l'unité près, de l'intégrale :

      I=∫45f(t)dt. I=\displaystyle\int_{4}^{5} f(t)\text{d}t.

    4. L'entreprise vend régulièrement entre 4\ 000 et 5\ 000 vélos par mois.

      Estimer la valeur moyenne du bénéfice mensuel arrondie à la centaine d'euros.

Corrigé

  1. Sur l'intervalle [0 ; 5][0~;~5], ff est la somme des fonctions hh et kk définies par :

    h(x)=xexetk(x)=−2ex−6. h(x)=x \text{e}^{x} \quad \text{et} \quad k(x)= - 2 \text{e}^{x} - 6.

    Pour dériver hh, posons :

    u(x)=xu(x)=x \quad v(x)=ex.\quad v(x)=\text{e}^{x}.
    u′(x)=1u^{\prime}(x)=1 \quadv′(x)=ex.\quad v^{\prime}(x)=\text{e}^{x}.

    Alors :

    h′(x)=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)h^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)v(x)+u(x)v^{\prime}(x)
    h′(x)=1×ex+x×ex \phantom{h^{\prime}(x)}=1 \times \text{e}^{x} + x \times \text{e}^{x}
    h′(x)=ex+xex. \phantom{h^{\prime}(x)}=\text{e}^{x} + x \text{e}^{x}.

    La dérivée de kk est définie sur l'intervalle [0 ; 5][0~;~5] par :

    k′(x)=−2ex.k^{\prime}(x)= - 2 \text{e}^{x}.

    Donc, pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [0 ; 5][0~;~5] :

    f′(x)=ex+xex−2exf^{\prime}(x)=\text{e}^{x} + x \text{e}^{x} - 2 \text{e}^{x}
    f′(x)=xex−ex\phantom{ f^{\prime}(x)} =x \text{e}^{x} - \text{e}^{x}
    f′(x)=ex(x−1) \phantom{f^{\prime}(x)} =\text{e}^{x} (x - 1) après factorisation de ex. \text{e}^{x}.

    En pratique

    Il est, en général, préférable de factoriser f′(x)f^{\prime}(x). Cela facilite ensuite l'étude du signe de la dérivée.

  2. ex\text{e}^{x} est strictement positif pour tout réel xx, donc la fonction f′f^{\prime} est du signe de x−1x - 1, c'est à dire nulle pour x=1{x=1}, strictement positive pour x>1{x > 1} et strictement négative pour x<1{x < 1}.

    On calcule :

    f(0)=−8f(0)= - 8 ;
    f(1)=−e−6f(1)= - \text{e} - 6 ;
    f(5)=3e5−6f(5)=3 \text{e}^{5} - 6.

    On obtient alors le tableau de variations suivant :

    Tableau de variations de f

    1. f(1)=−e−6≈−8,72f(1)= - \text{e} - 6 \approx - 8,72 ;
      f(5)=3e5−6≈439,24.f(5)=3 \text{e}^{5} - 6 \approx 439,24.

      • Sur l'intervalle [0 ; 1][0~;~1], ff est inférieure à -8 donc strictement négative.
        L'équation f(x)=0f(x)=0 n'a donc pas de solution sur cet intervalle.

      • Sur l'intervalle [1 ; 5][1~;~5], ff est continue, strictement croissante et change de signe. Donc l'équation f(x)=0{f(x)=0} admet une unique solution sur cet intervalle.

      En résumé, l'équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution x0x_0 sur l'intervalle [0 ; 5][0~;~5]. Cette solution est comprise entre 1 et 5.

    2. À la calculatrice, on trouve :

      f(2,494)≈−0,018<0f(2,494) \approx - 0,018 < 0 ;

      f(2,495)≈2,6×10−4>0f(2,495) \approx 2,6 \times 10^{ - 4} > 0.

      Par conséquent :

      2,494<x0<2,495. 2,494 < x_0 < 2,495.

      Une valeur approchée à 10−310^{ - 3} près par défaut de x0x_0 est 2,494.

      • Sur l'intervalle [0 ; 1][0~;~1], ff est strictement négative.

      • Sur l'intervalle [1 ; 5][1~;~5], ff est strictement croissante et s'annule pour x=x0x=x_0.
        Donc ff est strictement négative sur l'intervalle [1 ; x0[[1~;~x_0[, s'annule en x0x_0 et est strictement positive sur l'intervalle ]x0 ; 5]]x_0~;~5].

      En résumé, ff est strictement négative sur l'intervalle [0 ; x0[[0~;~x_0[, s'annule en x0x_0 et est strictement positive sur l'intervalle ]x0 ; 5]]x_0~;~5] :

      Tableau de signes et TVI

    4. L'entreprise réalise des bénéfices lorsque la fonction ff est positive c'est à dire lorsque x>x0x > x_0.

      Comme xx représente le nombre de vélos vendus, en milliers, et comme 2,494<x0<2,4952,494 < x_0 < 2,495, l'entreprise doit vendre au minimum 2\ 495 vélos pour réaliser des bénéfices.

    1. Posons :

      u(x)=x−3u(x)=x - 3 \quad v(x)=ex.\quad v(x)=\text{e}^{x}.
      u′(x)=1u^{\prime}(x)=1 \quad v′(x)=ex.\quad v^{\prime}(x)=\text{e}^{x}.

      Alors :

      g′(x)=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)g^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)v(x)+u(x)v^{\prime}(x)
      g′(x)=1×ex+(x−3)×ex\phantom{g^{\prime}(x)}=1 \times \text{e}^{x} + (x - 3) \times \text{e}^{x}
      g′(x)=ex+xex−3ex\phantom{g^{\prime}(x)}=\text{e}^{x} + x\text{e}^{x} - 3\text{e}^{x}
      g′(x)=xex−2ex.\phantom{g^{\prime}(x)}=x\text{e}^{x} - 2\text{e}^{x}.

    2. D'après la question précédente, la fonction gg est une primitive de la fonction x⟼xex−2ex{x \longmapsto x\text{e}^{x} - 2\text{e}^{x}}.

      Par ailleurs, la fonction x⟼6xx \longmapsto 6x est une primitive de la fonction constante x⟼6{x \longmapsto 6}.

      On en déduit que la fonction FF définie sur l'intervalle [0 ; 5][0~;~5] par :

      F(x)=(x−3)ex−6x F(x)=(x - 3)\text{e}^{x} - 6x

      est une primitive de la fonction ff.

      En pratique

      Il est toujours très important de trouver les liens pouvant exister entre les différentes questions.

      Ici, il faut remarquer que le résultat de la question précédent g′(x)=xex−2exg^{\prime}(x)=x \text{e}^{x} - 2 \text{e}^{x} coïncide avec le début de l'expression de f(x)f(x). Il reste le terme constant −6 - 6 pour lequel il est facile de trouver une primitive.

    3. Comme la fonction FF est une primitive de la fonction ff sur l'intervalle [0 ; 5][0~;~5] : I=∫45f(t)dt=[F(t)]45I=\displaystyle\int_{4}^{5} f(t)\text{d}t = \left[F(t)\right]_4^5
      l=(5−3)e5−6×5−((4−3)e4−6×4)\phantom{l}=(5 - 3)\text{e}^{5} - 6 \times 5 - \left( (4 - 3)\text{e}^{4} - 6 \times 4 \right)
      l=2e5−e4−6≈236\phantom{l}=2\text{e}^{5} - \text{e}^{4} - 6 \approx 236 (à l'unité près).

    4. Si l'entreprise vend entre 4 et 5 milliers de vélos par mois de manière régulière, son bénéfice mensuel moyen en centaines d'euros pourra être estimé à :

      m=15−4∫45f(t)dt=I≈236m=\dfrac{1}{5 - 4}\displaystyle\int_{4}^{5}f(t)\text{d}t=I \approx 236 .

      Le bénéfice mensuel moyen peut donc être estimé à 23 600 euros (arrondi à la centaine d'euros).

      À retenir

      La valeur moyenne de la fonction ff sur l'intervalle [a ; b][a~;~b] est :

      m=1b−a∫abf(t)dt. m=\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\text{d}t.

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