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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Suites et équations différentielles - Bac S Pondichéry 2008

Exercice 4

(7 points) Commun à tous les candidats

On cherche à modéliser de deux façons différentes l'évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l'année.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A : un modèle discret

Soit un le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l'année n.

On pose n=0 n = 0 en 2005, u0=1u_{0}=1 et, pour tout n>0n > 0, un+1=110un(20−un)u_{n+1}=\frac{1}{10} u_{n} \left(20 - u_{n}\right).

  1. Soit ff la fonction définie sur [0 ; 20] par f(x)=110x(20−x)f\left(x\right)=\frac{1}{10} x\left(20 - x\right).

    1. Etudier les variations de ff sur [0 ; 20].

    2. En déduire que pour tout x∈[0;10]x\in \left[0; 10\right], f(x)∈[0;10]f\left(x\right)\in \left[0; 10\right].

    3. On donne ci-dessous la courbe représentative (C)\left(C\right) de la fonction ff dans un repère orthonormal (O;i⃗,j⃗)\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) du plan. Représenter, sur l'axe des abscisses, à l'aide de ce graphique, les cinq premiers termes de la suite (un)n>0\left(u_{n}\right)_{n > 0}.

      Courbe suite 1

  2. Montrer par récurrence que pour tout n∈Nn\in \mathbb{N} , 0<un<un+1<100 < u_{n} < u_{n+1} < 10.

  3. Montrer que la suite (un)n>0\left(u_{n}\right)_{n > 0} est convergente et déterminer sa limite.

Partie B : un modèle continu

Soit g(x)g\left(x\right) le nombre, exprimé en millions, de tels foyers l'année xx. On pose x=0x=0 en 2005, g(0)=1g\left(0\right)=1 et gg est une solution, qui ne s'annule pas sur [0,+∞[\left[0,+\infty \right[, de l'équation différentielle

(E) : y′=120y(10−y)y^{\prime}=\frac{1}{20} y \left(10 - y\right)

  1. On considère une fonction yy qui ne s'annule pas sur [0,+∞[\left[0,+\infty \right[ et on pose z=1yz=\frac{1}{y}.

    1. Montrer que y est solution de (E) si et seulement si z est solution de l'équation différentielle :

      (E1) : z′=−12z+120z^{\prime}= - \frac{1}{2} z+\frac{1}{20}.

    2. Résoudre l'équation (E1) et en déduire les solutions de l'équation (E).

  2. Montrer que gg est définie sur [0,+∞[\left[0,+\infty \right[ par g(x)=109e−12x+1g\left(x\right)=\frac{10}{9e^{ - \frac{1}{2}x}+1}.

  3. Etudier les variations de gg sur [0,+∞[\left[0,+\infty \right[.

  4. Calculer la limite de gg en +∞+\infty et interpréter le résultat.

  5. En quelle année le nombre de foyers possédant un tel équipement dépassera-t-il 5 millions ?

Corrigé

Partie A

    1. f(x)=−110x2+2xf\left(x\right)= - \frac{1}{10}x^{2}+2x

      ff est une fonction polynôme du second degré avec un coefficient de x2x^{2} négatif.

      Sa courbe représentative est une parabole dont l'abscisse du sommet est :

      x0=−b2a=10x_{0}= - \frac{b}{2a}=10

      Son tableau de variation est le suivant :

      Exercice

    2. D'après le tableau il est évident que pour tout x∈[0;10],f(x)∈[0;10]x\in \left[0 ; 10\right] , f\left(x\right)\in \left[0 ; 10\right].

    3. Courbe suite 2

  2. u0=1u_{0}=1 et u1=1,9u1=1,9 donc la propriété est vraie au rang 0 (0⩽1⩽1,9⩽100\leqslant 1\leqslant 1,9\leqslant 10)

    Supposons 0⩽un⩽un+1⩽100\leqslant u_{n}\leqslant u_{n+1}\leqslant 10.

    Comme f est croissante sur [0;10]

    f(0)⩽f(un)⩽f(un+1)⩽f(10)f\left(0\right)\leqslant f\left(u_{n}\right)\leqslant f\left(u_{n+1}\right)\leqslant f\left(10\right)

    c'est à dire

    0⩽un+1⩽un+2⩽100\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant 10.

    Donc la propriété est héréditaire.

    Donc pour tout n∈N,⋯0⩽un⩽un+1⩽10n \in \mathbb{N}, \cdots 0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 10.

  3. La suite (un)n⩾0\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0} est croissante et majorée (par 10) donc elle est convergente. Sa limite vérifie l=f(l)l=f\left(l\right)

    Ce qui donne l2−10l=0l^{2} - 10l=0 donc l=0l=0 ou l=10l=10.

    La solution l=0l=0 ne peut convenir car, la suite étant croissante l⩾u0⩾1l\geqslant u_{0}\geqslant 1

    Donc l=10l=10.

Partie B

    1. z=1yz=\frac{1}{y} ne s'annule pas sur [0,+∞[\left[0,+\infty \right[ donc y=1zy=\frac{1}{z} et y′=−z′z2y^{\prime}= - \frac{z^{\prime}}{z^{2}}.

      y′=12y−120y2⇔−z′z2=12z−120z2⇔z′=−12z+120y^{\prime}=\frac{1}{2}y - \frac{1}{20}y^{2} \Leftrightarrow - \frac{z^{\prime}}{z^{2}}=\frac{1}{2z} - \frac{1}{20z^{2}} \Leftrightarrow z^{\prime}= - \frac{1}{2}z+\frac{1}{20}

    2. Les solutions de l'équation (E1) sont les fonctions définies par :

      z(x)=Ce−12x−120−12=Ce−12x+110z\left(x\right)=Ce^{ - \frac{1}{2}x} - \frac{\frac{1}{20}}{ - \frac{1}{2}}=Ce^{ - \frac{1}{2}x}+\frac{1}{10} où C∈RC \in \mathbb{R}

      Les solutions de (E) sont les fonctions définies par :

      1y(x)=Ce−12x+110\frac{1}{y\left(x\right)}=Ce^{ - \frac{1}{2}x}+\frac{1}{10}

      y(x)=1Ce−12x+110=10Ke−12x+1y\left(x\right)=\frac{1}{Ce^{ - \frac{1}{2}x}+\frac{1}{10}}=\frac{10}{Ke^{ - \frac{1}{2}x}+1} où K∈RK \in \mathbb{R} (on a posé K=10CK=10C)

  2. gg vérifie g(0)=1g\left(0\right)=1 ce qui donne:

    10K+1=1\frac{10}{K+1}=1 soit K=9K=9

    Donc :

    g(x)=109e−12x+1g\left(x\right)=\frac{10}{9e^{ - \frac{1}{2}x}+1}.

  3. g′(x)=−10×−92e−12x(9e−12x+1)2=45×e−12x(9e−12x+1)2>0g^{\prime}\left(x\right)= - 10\times \frac{ - \frac{9}{2}e^{ - \frac{1}{2}x}}{\left(9e^{ - \frac{1}{2}x}+1\right)^{2}}=45\times \frac{e^{ - \frac{1}{2}x}}{\left(9e^{ - \frac{1}{2}x}+1\right)^{2}} > 0

    Donc la fonction gg est strictement croissante sur [0,+∞[\left[0,+\infty \right[

  4. limx→+∞−12x=−∞\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } - \frac{1}{2}x= - \infty et limx→−∞ex=0\lim\limits_{x\rightarrow - \infty } e^{x}=0 donc par composition limx→+∞e−12x=0\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }e^{ - \frac{1}{2}x}=0 et

    limx→+∞109e−12x+1=10\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{10}{9e^{ - \frac{1}{2}x}+1}=10

    Le nombre de foyers possédant un tel équipement se rapprochera progressivement de 10 millions.

  5. Comme 9e−12x+1>09e^{ - \frac{1}{2}x}+1 > 0 :

    g(x)⩾5⇔10⩾5(9e−12x+1)⇔1⩾9e−12xg\left(x\right)\geqslant 5 \Leftrightarrow 10\geqslant 5\left(9e^{ - \frac{1}{2}x}+1\right) \Leftrightarrow 1\geqslant 9e^{ - \frac{1}{2}x}

    La fonction ln\ln étant strictement croissante sur ]0,+∞[\left]0,+\infty \right[ :

    g(x)⩾5⇔ln(1)⩾ln(9e−12x)⇔0⩾−12x+ln9⇔12x⩾ln9⇔x⩾2ln9g\left(x\right)\geqslant 5 \Leftrightarrow \ln\left(1\right)\geqslant \ln\left(9e^{ - \frac{1}{2}x}\right) \Leftrightarrow 0\geqslant - \frac{1}{2}x+\ln9 \Leftrightarrow \frac{1}{2}x\geqslant \ln9 \Leftrightarrow x\geqslant 2\ln9

    Comme 4⩽2ln9⩽54\leqslant 2\ln9\leqslant 5, le nombre de foyers possédant un tel équipement dépassera les 5 millions au cours de l'année 2009.

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