Exercice 2

(5 points) Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

On suppose connu le résultat suivant :

Une application $f$ du plan muni d'un repère orthonormal direct dans lui-même est une similitude directe si et seulement si $f$ admet une écriture complexe de la forme $z^{\prime}=az+b$, où $a\in \mathbb{C}^{*}$ et $b\in \mathbb{C}$.

Démonstration de cours :

On se place dans le plan complexe. Démontrer que si A, B, A' et B' sont quatre points tels que A est distinct de B et A' est distinct de B', alors il existe une unique similitude directe transformant A en A' et B en B'.

Partie B

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $\left(O; \vec{u}, \vec{v}\right)$, on considère les points A, B, C, D d'affixes respectives $z_{A}= - \sqrt{3} - i$, $z_{B}=1 - i\sqrt{3}$, $z_{C}=\sqrt{3}+i$, $z_{D}= - 1+i\sqrt{3}$.

1. 1. Donner le module et un argument de chacun des quatre nombres complexes $z_{A}$, $z_{B}$, $z_{C}$ et $z_{D}$.

   2. Construire à la règle et au compas les points A, B, C et D (on prendra pour unité graphique 2 cm).

   3. Déterminer le milieu du segment [AC], celui du segment [BD]. Calculer le quotient $\frac{z_B}{z_{A}}$. En déduire la nature du quadrilatère ABCD.

2. On considère la similitude directe $g$ dont l'écriture complexe est $z^{\prime}=e^{ - i\frac{\pi }{3}}z+2$.

   1. Déterminer les éléments caractéristiques de $g$.

   2. Construire à la règle et au compas les images respectives E, F et J par $g$ des points A, C et O.

   3. Que constate-t-on concernant ces points E, F et J ? Le démontrer.