Sur [1,+∞[ :
x×1−e−xe−x=x×(1−e−x)×exe−x×ex=x×ex−11=ex−1x
Sur [1,+∞[ : ex−1x=x×1−e−xe−x
∫13f(x)dx=∫13x×1−e−xe−xdx
On intègre par parties en posant :
u(x)=x et v′(x)=1−e−xe−x
v′ est de la forme UU′ avec U=1−e−x
donc u′(x)=1 et v(x)=ln(1−e−x)
∫13f(x)dx=[x×ln(1−e−x)]13−∫13ln(1−e−x)dx
∫13f(x)dx=3×ln(1−e−3)−ln(1−e−1)−∫13ln(1−e−x)dx
∫13f(x)dx=3×ln(1−e31)−ln(1−e1)−∫13ln(1−e−x)dx
∫13ln(1−e1)dx⩽∫13ln(1−e−x)dx⩽∫13ln(1−e31)dx
La fonction ϕ:x↦ln(1−(e−x)) a une dérivée ϕ′ définie par ϕ′(x)=1−e−xe−x.
Sur [1;3] : −x<0⇒e−x<1⇒1−e−x>0⇒ϕ′(x)>0
donc ϕ est croissante sur [1;3] donc
ϕ(1)⩽ϕ(x)⩽ϕ(3)
Si 1⩽x⩽3 : ln(1−e1)⩽ln(1−e−x)⩽ln(1−e31)
En intégrant membre à membre l'encadrement précédent:
∫13ln(1−e1)dx⩽∫13ln(1−e−x)dx⩽∫13ln(1−e31)dx
ln(1−e1)∫13dx⩽∫13ln(1−e−x)dx⩽ln(1−e31)∫13dx
2ln(1−e1)⩽∫13ln(1−e−x)dx⩽2ln(1−e31)
Donc :
−2ln(1−e31)⩽−∫13ln(1−e−x)dx⩽−2ln(1−e1)
D'où d'après b. et en ajoutant 3×ln(1−e31)−ln(1−e1) à chaque membre:
ln(1−e31)−ln(1−e1)⩽∫13f(x)dx⩽3×ln(1−e31)−3ln(1−e1)
Or
ln(1−e31)−ln(1−e1)=ln(e3e3−1)−ln(ee−1)=ln(e3e3−1×e−1e)
=ln(e−1e3−1×e21)=ln(e−1e3−1)+ln(e21)=ln(e−1e3−1)−2
d'où ln(e−1e3−1)−2⩽∫13f(x)dx⩽3ln(e−1e3−1)−6