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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Orthogonalité dans l'espace - Bac S Pondichéry 2008

Exercice 3

(4 points) Commun à tous les candidats

Fonction

On considère un tétraèdre ABCD.

On note I, J, K, L, M, N les milieux respectifs des arêtes [AB], [CD], [BC], [AD], [AC] et [BD].

On désigne par G l'isobarycentre des points A, B, C et D.

  1. Montrer que les droites (IJ), (KL) et (MN) sont concourantes en G.

    Dans la suite de l'exercice, on suppose que AB=CD, BC=AD et AC=BD.

    (On dit que le tétraèdre ABCD est équifacial, car ses faces sont isométriques).

    1. Quelle est la nature du quadrilatère IKJL ? Préciser également la nature des quadrilatères IMJN et KNLM.

    2. En déduire que (IJ) et (KL) sont orthogonales. On admettra que, de même, les droites (IJ) et (MN) sont orthogonales et les droites (KL) et (MN) sont orthogonales.

    1. Montrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (MKN).

    2. Quelle est la valeur du produit scalaire IJ.MK\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{MK} ? En déduire que (IJ) est orthogonale à la droite (AB). Montrer de même que (IJ) est orthogonale à la droite (CD).

    3. Montrer que gg appartient aux plans médiateurs de [AB] et [CD].

    4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
      Comment démontrerait-on que gg est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD ?

Corrigé

  1. G est le barycentre des points pondérés (A;1), (B;1), (C;1) et (D;1).

    Or I est le milieu de [AB] donc le barycentre de (A;1),(B;1) et J est le milieu de [CD] donc le barycentre de (C;1),(D;1)

    D'après la propriété d'associativité du barycentre G est le barycentre de (I;2), (J;2) donc G est le milieu de [IJ] et il appartient donc à la droite (IJ).

    On montre de même (en associant A avec C et B avec D puis A avec D et B avec C) que G est le milieu de [KL] et [MN] et par conséquent appartient à (KL) et à (MN)

    Conclusion : Les droites (IJ), (KL) et (MN) sont concourantes en G.

    1. D'après 1. les diagonales du quadrilatère IKJL se coupent en leurs milieux G donc IKJL est un parallélogramme.

      D'après le théorème des milieux dans le triangle ABC, IK=12\frac{1}{2}AC. De même, d'après le théorème des milieux dans le triangle BCD, JK=12\frac{1}{2}BD. Comme AC=BD, IK=JK donc le parallélogramme IKJL, qui a deux côtés consécutifs égaux, est un losange.

      La démonstration est similaire pour les quadrilatères IMJN et KNLM.

      Conclusion : Les quadrilatères IKJL, IMJN et KNLM sont des losanges

    2. Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires donc :

      Conclusion : Les droites (IJ) et (KL) sont orthogonales.

    1. Les droites (MN) et (JK) sont coplanaires et sécantes d'après les questions précédentes et sont donc incluses dans le plan (MKN).

      (IJ) est donc orthogonale à deux droites sécantes du plan (MKN). Par conséquent :

      Conclusion : La droite (IJ) est orthogonale au plan (MKN)

    2. (IJ) est orthogonale à toute droite de (MKN) en particulier à (MK) donc :

      Conclusion : IJ.MK=0\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{0}

      D'après le théorème des milieux dans le triangle ABC :

      MK=12AB\overrightarrow{MK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}

      donc :

      IJ.AB=0\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}

      Conclusion : La droite (IJ) est orthogonale à la droite (AB).

      De même (IJ) est orthogonale à toute droite de (MKN) en particulier à (ML) donc :

      IJ.ML=0\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{ML}=\overrightarrow{0}

      D'après le théorème des milieux dans le triangle ABC :

      ML=12CD\overrightarrow{ML}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}

      donc :

      IJ.CD=0\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}

      Conclusion : La droite (IJ) est orthogonale à la droite (CD).

    3. La droite (IJ) est orthogonale à la droite (AB) et passe par le point I . Donc, elle appartient au plan orthogonal à (AB) passant par I. Comme I est le milieu de [AB], ce plan est le plan médiateur du segment [AB].

      Or G appartient à (IJ) donc :

      Conclusion : G appartient au plan médiateur de [AB].

      De même, la droite (IJ) est orthogonale à la droite (CD) et passe par le point J . Donc, elle appartient au plan orthogonal à (CD) passant par J. Comme J est le milieu de [CD], ce plan est le plan médiateur du segment [CD]. Donc :

      Conclusion : G appartient au plan médiateur de [CD].

    4. Pour démontrer que G est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD il suffit de montrer que GA=GB=GC=GD.

      Or G appartient au plan médiateur de [AB] donc GA=GB.

      Et G appartient au plan médiateur de [CD] donc GC=GD.

      Pour démontrer que G est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD il suffira de montrer (par exemple) que GB=GC, c'est à dire que G appartient au plan médiateur de [BC].

      La démonstration serait similaire à la précédente en remplaçant (IJ) par (KL) et (MNK) par (MNJ)