Exercice 4 (5 points)

Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité « Mathématiques »

Le directeur d'une réserve marine a recensé 3 000 cétacés dans cette réserve au 1$^{\text{er}}$ juin 2017. Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en « réserve marine » ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de cette réserve devient inférieur à 2 000.

Une étude lui permet d'élaborer un modèle selon lequel, chaque année :

• entre le 1$^{\text{er}}$ juin et le 31 octobre, 80 cétacés arrivent dans la réserve marine ;

• entre le 1$^{\text{er}}$ novembre et le 31 mai, la réserve subit une baisse de 5 % de son effectif par rapport à celui du 31 octobre qui précède.

On modélise l'évolution du nombre de cétacés par une suite $(u_n)$. Selon ce modèle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de cétacés au 1$^{\text{er}}$ juin de l'année $2017+n$. On a donc $u_0=3~000$.

1. Justifier que $u_1=2~926$.

2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,95u_n+76$.

3. À l'aide d'un tableur, on a calculé les 8 premiers termes de la suite $(u_n)$. Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l'unité.

   

   Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C2 afin d'obtenir, par recopie vers la droite, les termes de la suite $(u_n)$ ?

4. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant1~520$.

   2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.

   3. Justifier que la suite $(u_n)$ est convergente. On ne cherchera pas ici la valeur de la limite.

5. On désigne par $(v_n)$ la suite définie par, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n - 1~520$.

   1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,95 dont on précisera le premier terme.

   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=1~480\times0,95^n+1~520$.

   3. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

6. Recopier et compléter l'algorithme suivant pour déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve marine sera inférieur à 2 000.

   

   La notation « $\leftarrow$ » correspond à une affectation de valeur, ainsi « $n\leftarrow 0$ » signifie «  Affecter à $n$ la valeur $0$  ».

7. La réserve marine fermera-t-elle un jour ? Si oui, déterminer l'année de la fermeture.