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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Suites - Bac S Antilles-Guyane 2018

Exercice 4 (5 points)

Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité « Mathématiques »

Le directeur d'une réserve marine a recensé 3 000 cétacés dans cette réserve au 1er^{\text{er}} juin 2017. Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en « réserve marine » ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de cette réserve devient inférieur à 2 000.

Une étude lui permet d'élaborer un modèle selon lequel, chaque année :

On modélise l'évolution du nombre de cétacés par une suite (un)(u_n). Selon ce modèle, pour tout entier naturel nn, unu_n désigne le nombre de cétacés au 1er^{\text{er}} juin de l'année 2017+n2017+n. On a donc u0=3 000u_0=3~000.

  1. Justifier que u1=2 926u_1=2~926.

  2. Justifier que, pour tout entier naturel nn, un+1=0,95un+76u_{n+1}=0,95u_n+76.

  3. À l'aide d'un tableur, on a calculé les 8 premiers termes de la suite (un)(u_n). Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l'unité.

    Tableur Bac S Antilles-Guyane 2018

    Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C2 afin d'obtenir, par recopie vers la droite, les termes de la suite (un)(u_n) ?

    1. Démontrer que, pour tout entier naturel nn, un1 520u_n\geqslant1~520.

    2. Démontrer que la suite (un)(u_n) est décroissante.

    3. Justifier que la suite (un)(u_n) est convergente. On ne cherchera pas ici la valeur de la limite.

  4. On désigne par (vn)(v_n) la suite définie par, pour tout entier naturel nn, vn=un1 520v_n=u_n - 1~520.

    1. Démontrer que la suite (vn)(v_n) est une suite géométrique de raison 0,95 dont on précisera le premier terme.

    2. En déduire que, pour tout entier naturel nn, un=1 480×0,95n+1 520u_n=1~480\times0,95^n+1~520.

    3. Déterminer la limite de la suite (un)(u_n).

  5. Recopier et compléter l'algorithme suivant pour déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve marine sera inférieur à 2 000.

    Algorithme Bac S Antilles-Guyane 2018

    La notation « \leftarrow » correspond à une affectation de valeur, ainsi « n0n\leftarrow 0 » signifie «  Affecter à nn la valeur 00  ».

  6. La réserve marine fermera-t-elle un jour ? Si oui, déterminer l'année de la fermeture.