Suites - Bac S Antilles-Guyane 2018
Exercice 4 (5 points)
Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité « Mathématiques »
Le directeur d'une réserve marine a recensé 3 000 cétacés dans cette réserve au 1 juin 2017. Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en « réserve marine » ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de cette réserve devient inférieur à 2 000.
Une étude lui permet d'élaborer un modèle selon lequel, chaque année :
entre le 1 juin et le 31 octobre, 80 cétacés arrivent dans la réserve marine ;
entre le 1 novembre et le 31 mai, la réserve subit une baisse de 5 % de son effectif par rapport à celui du 31 octobre qui précède.
On modélise l'évolution du nombre de cétacés par une suite . Selon ce modèle, pour tout entier naturel , désigne le nombre de cétacés au 1 juin de l'année . On a donc .
Justifier que .
Justifier que, pour tout entier naturel , .
À l'aide d'un tableur, on a calculé les 8 premiers termes de la suite . Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l'unité.
Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C2 afin d'obtenir, par recopie vers la droite, les termes de la suite ?
Démontrer que, pour tout entier naturel , .
Démontrer que la suite est décroissante.
Justifier que la suite est convergente. On ne cherchera pas ici la valeur de la limite.
On désigne par la suite définie par, pour tout entier naturel , .
Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,95 dont on précisera le premier terme.
En déduire que, pour tout entier naturel , .
Déterminer la limite de la suite .
Recopier et compléter l'algorithme suivant pour déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve marine sera inférieur à 2 000.
La notation « » correspond à une affectation de valeur, ainsi « » signifie « Affecter à la valeur ».
La réserve marine fermera-t-elle un jour ? Si oui, déterminer l'année de la fermeture.