Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un T-shirt :

Il dessine ce logo à l'aide des courbes de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par :

On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$.

Partie A — Étude de la fonction $f$

1. Justifier que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ :

   $- \text{e}^{ - x}\leqslant f(x)\leqslant 3\text{e}^{ - x}.$

2. En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.

3. Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f^{\prime}(x)=\text{e}^{ - x}(2\cos x - 1)$ où $f^{\prime}$ est la fonction dérivée de $f$.

4. Dans cette question, on étudie la fonction $f$ sur l'intervalle $[ - \pi~;\pi]$.

   1. Déterminer le signe de $f^{\prime}(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $[ - \pi~;\pi]$.

   2. En déduire les variations de $f$ sur $[ - \pi~;\pi]$.

Partie B — Aire du logo

On note $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé $(O~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v})$. L'unité graphique est de 2 centimètres. Ces deux courbes sont tracées en Annexe.

1. Étudier la position relative de la courbe $\mathscr{C}_f$ par rapport à la courbe $\mathscr{C}_g$ sur $\mathbb{R}$.

2. Soit $H$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

   $H(x)=\left( - \frac{\cos x}{2} - \frac{\sin x}{2} - 1\right)\text{e}^{ - x}.$

   On admet que $H$ est une primitive de la fonction $x\mapsto (\sin x+1)\text{e}^{ - x}$ sur $\mathbb{R}$.

   On note $\mathscr{D}$ le domaine délimité par la courbe $\mathscr{C}_f$, la courbe $\mathscr{C}_g$ est les droites d'équation $x= - \frac{\pi}{2}$ et $x=\frac{3\pi}{2}$.

   1. Hachurer le domaine $\mathscr{D}$ sur le graphique en annexe à rendre avec la copie.

   2. Calculer, une unité d'aire, l'aire du domaine $\mathscr{D}$, puis en donner une valeur approchée à $10^{ - 2}$ près en cm$^2$.

ANNEXE

À compléter et à remettre avec la copie