Exercice 4 (5 points)

Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité « Mathématiques »

Le droit de pêche dans une réserve marine est réglementé : chaque pêcheur doit posséder une carte d'accréditation annuelle. Il existe deux types de cartes :

• une carte de pêche dite « libre » (le pêcheur n'est pas limité en nombre de poissons pêchés) ;

• une carte de pêche dite « avec quota » (le pêcheur ne doit pas dépasser une certaine quantité hebdomadaire de poissons).

On suppose que le nombre total de pêcheurs reste constant d'année en année.
On note, pour l'année $2017+n$ :

• $l_n$ la proportion de pêcheurs possédant la carte de pêche libre ;

• $q_n$ la proportion de pêcheurs possédant la carte de pêche avec quota.

On observe que :

• chaque année, 65 % des possesseurs de la carte de pêche libres achète de nouveaux une carte de pêche libre l'année suivante ;

• Chaque année, 45 % des possesseurs de la carte de pêche avec quota acheté une carte de pêche libre l'année suivante ;

• En 2017, 40 % des pêcheurs ont acheté une carte de pêche libre. On a donc $l_0=0,4$ et $q_0=0,6$.

On note, pour tout entier naturel $n$, $P_n=\begin{pmatrix} l_n\\q_n \end{pmatrix}$.

1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=MP_n$, où $M$ est la matrice carrée $\begin{pmatrix} 0,65&0,45\\ 0,35&0,55 \end{pmatrix}$.

2. Calculer la proportion de pêcheurs achetant une carte de pêche avec quota en 2019.

3. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

   

   En vous appuyant sur les résultats précédents, répondre aux deux questions suivantes :

   1. Justifier que $Q$ est une matrice inversible et préciser sa matrice inverse.
      On notera $Q^{ - 1}$ la matrice inverse de $Q$.

   2. Justifier que $M=QDQ^{ - 1}$ et démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul :

      $M^n=QD^nQ^{ - 1}.$

4. On admet que, pour tout entier naturel $n$ non nul,

   $M^n=\frac{1}{16}\begin{pmatrix} 9+7\times0,2^n&9 - 9\times0,2^n\\ 7 - 7\times0,2^n&7+9\times0,2^n \end{pmatrix}.$

   1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $P_n=M^nP_0$.

   2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$ :

      $l_n=\frac{9}{16} - \frac{13}{80}\times0,2^n.$

5. La proportion de pêcheurs achetant la carte de pêche libre dépassera-t-elle 60 % ?