Exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

L'exploitant d'une forêt communale décide d'abattre des arbres afin de les vendre, soit aux habitants, soit à des entreprises. On admet que :

• parmi les arbres abattus, 30 % sont des chênes, 50 % sont des sapins et les autres sont des arbres d'essence secondaire (ce qui signifie qu'ils sont de moindre valeur) ;

• 45,9 % des chênes et 80 % des sapins abattus sont vendus aux habitants de la commune ;

• les trois quarts des arbres d'essence secondaire abattus sont vendus à des entreprises.

Partie A

Parmi les arbres abattus, on en choisit un au hasard.

On considère les événements suivants :

• $C$ : « l'arbre abattu est un chêne » ;

• $S$ : « l'arbre abattu est un sapin » ;

• $E$ : « l'arbre abattu est un arbre d'essence secondaire » ;

• $H$ : « l'arbre abattu est vendu à un habitant de la commune ».

1. Construire un arbre pondéré complet traduisant la situation.

2. Calculer la probabilité que l'arbre abattu soit un chêne vendu à un habitant de la commune.

3. Justifier que la probabilité que l'arbre abattu soit vendu à un habitant de la commune est égale à 0,587 7.

4. Quelle est la probabilité qu'un arbre abattu vendu à un habitant de la commune soit un sapin ?
   On donnera le résultat arrondi à $10^{ - 3}$.

Partie B

Le nombre d'arbres sur un hectare de cette forêt peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale d'espérance $\mu=4~000$ et d'écart-type $\sigma=300$.

1. Déterminer la probabilité qu'il y ait entre 3 400 et 4 600 arbres sur un hectaure donné de cette forêt. On donnera le résultat arrondi à $10^{ - 3}$.

2. Calculer la probabilité qu'il y ait plus de 4 500 arbres sur un hectare donné de cette forêt. On donnera le résultat arrondi à $10^{ - 3}$.

Partie C

L'exploitant affirme que la densité de sapins dans cette forêt communale est de 1 sapin pour 2 arbres.

Sur une parcelle, on a compté 106 sapins dans un échantillon de 200 arbres.
Ce résultat remet-il en cause l'affirmation de l'exploitant ?