Exercice 2 (5 points)

Candidats de ES n'ayant pas suivi la spécialité et candidats de L

Maya possède 20 € dans sa tirelire au 1${^\text{er}}$ juin 2018.

À partir de cette date, chaque mois elle dépense un quart du contenu de sa tirelire puis y place 20 € supplémentaires.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya à la fin du $n$-ième mois. On a $u_0=20$.

1. 1. Montrer que la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya à la fin du 1${^\text{er}}$ mois est de 35 €.

   2. Calculer $u_2$.

2. On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,75 u_n + 20$.

   On considère l'algorithme suivant:

   

   1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui retrace les différentes étapes de l'exécution de l'algorithme. On ajoutera autant de colonnes que nécessaire à la place de celle contenant les pointillés. Arrondir les résultats au centième.

      

   2. Quelle valeur est affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme?

      Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

3. Pour tout entier $n$, on pose $v_n=u_n - 80$.

   1. Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0,75$.

   2. Préciser son premier terme $v_0$.

   3. En déduire que, pour tout entier $n$, $u_n=80 - 60\times 0,75^{n}$.

   4. Déterminer, au centime près, le montant que Maya possèdera dans sa tirelire au 1${^\text{er}}$ juin 2019.

   5. Déterminer la limite de la suite $(v_n)$.

   6. En déduire la limite de la suite $(u_n)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.