Exercice 4 (5 points)

Commun à tous les candidats

1. Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1\,;\,25]$ par

   $f(x)=\dfrac{x+2 - \ln(x)}{x}.$

   1. On admet que $f$ est dérivable sur $[1\,;\,25]$.

      Démontrer que pour tout réel $x$ appartient à l'intervalle $[1\,;\,25]$,

      $f^{\prime}(x)=\dfrac{ - 3+\ln(x)}{x^2}.$

   2. Résoudre dans $[1\,;\,25]$ l'inéquation $- 3+\ln(x)>0$.

   3. Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur $[1\,;\,25]$.

   4. Démontrer que dans l'intervalle $[1\,;\,25]$, l'équation $f(x)=1,5$ admet une seule solution. On notera $\alpha$ cette solution.

   5. Déterminer un encadrement d'amplitude $0,01$ de $\alpha$ à l'aide de la calculatrice.

2. Une entreprise fabrique chaque jour entre 100 et 2 500 pièces électroniques pour des vidéo-projecteurs. Toutes les pièces fabriquées sont identiques.

   On admet que lorsque $x$ centaines de pièces sont fabriquées, avec $1 \leqslant x \leqslant 25$, le coût moyen de fabrication d'une pièce est de $f(x)$ euros.

   En utilisant les résultats obtenus à la question 1.:

   1. Déterminer, à l'unité près, le nombre de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de fabrication d'une pièce soit minimal.
      Déterminer alors ce coût moyen, au centime d'euro près.

   2. Déterminer le nombre minimal de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de fabrication d'une pièce soit inférieur ou égal à $1,50$ euro.

   3. Est-il possible que le coût moyen d'une pièce soit de 50 centimes? Justifier.