EXERCICE 1 (6 points)

Commun à tous les candidats

Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.

On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.

On note :

• $S$ l'événement « le voyageur fait sonner le portique »;

• $M$ l'événement « le voyageur porte un objet métallique ».

On considère qu'un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique.

1. On admet que :

   • Lorsqu'un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à $0,98$;

   • Lorsqu'un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à $0,98$.

   1. À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de $P(M)$, $P_{M}(S)$ et $P_{\overline{M}}(\overline{S})$.

   2. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous illustrant cette situation.

      

   3. Montrer que : $P(S)=0,021~92$.

   4. En déduire la probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique sachant qu'il a fait sonner le portique. (On arrondira le résultat à $10^{ - 3}$.)

2. 80 personnes s'apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à $0,021~92$.

   Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les 80 personnes de ce groupe.

   1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

   2. Calculer l'espérance de $X$ et interpréter le résultat.

   3. Sans le justifier, donner la valeur arrondie à $10^{ - 3}$ de :

      • la probabilité qu'au moins une personne du groupe fasse sonner le portique;

      • la probabilité qu'au maximum 5 personnes fassent sonner le portique.

   4. Sans le justifier, donner la valeur du plus petit entier $n$ tel que $P(X \leqslant n) \geqslant 0,9$.