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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Graphes probabilistes - Bac ES Liban 2018 (spé)

Exercice 2 (5 points)

Candidats de ES ayant choisi la spécialité « mathématiques »

Dans un pays deux opérateurs se partagent le marché des télécommunications mobiles. Une étude révèle que chaque année :

On note EE l'état : « la personne possède un contrat chez l'opérateur EfficaceRéseau » et GG l'état : « la personne possède un contrat chez l'opérateur GenialPhone ».

À partir de 2018, on choisit au hasard un client de l'un des deux opérateurs.

On note également :

Au 1er{^\text{er}} janvier 2018, on suppose que 10 % des clients possèdent un contrat chez EfficaceRéseau, ainsi P0=(0,10,9)P_0 = \begin{pmatrix} 0,1 & 0,9 \end{pmatrix}.

  1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets EE et GG.

    1. Déterminer la matrice de transition MM associée au graphe en rangeant les sommets dans l'ordre alphabétique.

    2. Vérifier qu'au 1er{^\text{er}} janvier 2020, environ 57 % des clients ont un contrat avec l'opérateur EfficaceRéseau.

    1. On rappelle que pour tout entier naturel nn, Pn+1=Pn×MP_{n+1} = P_n\times M.

      Exprimer en+1e_{n+1} en fonction de ene_n et gng_n.

    2. En déduire que pour tout entier naturel nn, en+1=0,25en+0,45e_{n+1} = 0,25 e_n + 0,45.

    1. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous de façon à ce qu'il affiche l'état probabiliste au 1er{^\text{er}} janvier (2018+n)(2018+n) :

    2. Déterminer l'affichage de cet algorithme pour N=3N=3. Arrondir au centième.

    3. Déterminer l'état stable du système et interpréter votre réponse dans le contexte de l'exercice.