Exercice 2 (5 points)

Candidats de ES ayant choisi la spécialité « mathématiques »

Dans un pays deux opérateurs se partagent le marché des télécommunications mobiles. Une étude révèle que chaque année :

• parmi les clients de l'opérateur EfficaceRéseau, 70 % se réabonnent à ce même opérateur et 30 % souscrivent un contrat avec l'opérateur GenialPhone;

• parmi les clients de l'opérateur GenialPhone, 55 % se réabonnent à ce même opérateur et 45 % souscrivent un contrat avec l'opérateur EfficaceRéseau.

On note $E$ l'état : « la personne possède un contrat chez l'opérateur EfficaceRéseau » et $G$ l'état : « la personne possède un contrat chez l'opérateur GenialPhone ».

À partir de 2018, on choisit au hasard un client de l'un des deux opérateurs.

On note également :

• $e_n$ la probabilité que le client possède un contrat avec l'opérateur EfficaceRéseau au 1${^\text{er}}$ janvier $(2018+n)$;

• $g_n$ la probabilité que le client possède un contrat avec l'opérateur GenialPhone au 1${^\text{er}}$ janvier $(2018+n)$;

• $P_n = \begin{pmatrix} e_n & g_n \end{pmatrix}$ désigne la matrice ligne traduisant l'état probabiliste du système au 1${^\text{er}}$ janvier $(2018+n)$.

Au 1${^\text{er}}$ janvier 2018, on suppose que 10 % des clients possèdent un contrat chez EfficaceRéseau, ainsi $P_0 = \begin{pmatrix} 0,1 & 0,9 \end{pmatrix}$.

1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets $E$ et $G$.

2. 1. Déterminer la matrice de transition $M$ associée au graphe en rangeant les sommets dans l'ordre alphabétique.

   2. Vérifier qu'au 1${^\text{er}}$ janvier 2020, environ 57 % des clients ont un contrat avec l'opérateur EfficaceRéseau.

3. 1. On rappelle que pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1} = P_n\times M$.

      Exprimer $e_{n+1}$ en fonction de $e_n$ et $g_n$.

   2. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $e_{n+1} = 0,25 e_n + 0,45$.

4. 1. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous de façon à ce qu'il affiche l'état probabiliste au 1${^\text{er}}$ janvier $(2018+n)$ :

      

   2. Déterminer l'affichage de cet algorithme pour $N=3$. Arrondir au centième.

   3. Déterminer l'état stable du système et interpréter votre réponse dans le contexte de l'exercice.