Exercice 3 (5 points)

Candidats de la série ES n'ayant pas choisi la spécialité « mathématiques » et candidats de la série L

Un pays compte $300$ loups en 2017. On estime que la population des loups croit naturellement au rythme de 12 % par an. Pour réguler la population des loups. le gouvernement autorise les chasseurs à tuer un quota de $18$ loups par an.

On modélise la population par une suite $\left(u_n\right)$ le terme $u_n$ représentant le nombre de loups de ce pays en $2017+n$.

1. 1. Avec ce modèle. vérifier que le nombre de loups de ce pays en 2018 sera de $318$.

   2. Justifier que, pour tout entier $n \in \mathbb{N}$,   $u_{n+1} = 1,12u_n - 18$.

2. Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'il détermine au bout de combien d'années la population de loups aura doublé.

   

3. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par : $v_n = u_n - 150$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

   1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,12$.

      Préciser son terme initial.

   2. Exprimer, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n$ en fonction de $n$.

      En déduire $u_n$ en fonction de $n$.

   3. Quelle est la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ? Justifier.

      Que peut-on en déduire ?

4. 1. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation :

      $150 + 1,12^n \times 150 > 600.$

   2. Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l'énoncé.

5. En 2023. avec ce modèle, la population de loups est estimée à $446$ loups et le rythme de croissance annuel de la population reste identique. Dans ce cas, une nouvelle décision sera prise par le gouvernement : afin de gérer le nombre de loups dans le pays, il autorisera les chasseurs à tuer un quota de $35$ loups par an.

   En quelle année la population de loups dépassera-t-elle $600$ loups ?

   Toute trace de recherche sera valorisée dans cette question.