Matrices de transition – Bac ES Asie 2018 (spé)
Exercice 3 (5 points)
Candidats de la série ES ayant choisi la spécialité « mathématiques »
Pour la nouvelle année, Lisa prend la bonne résolution d'aller au travail tous les matins à vélo. Le premier jour, très motivée, Lisa se rend au travail à vélo. Par la suite, elle se rend toujours au travail à vélo ou en voiture.
Elle se rend compte que :
si elle a pris son vélo un jour, cela renforce sa motivation et elle reprend le vélo le lendemain avec une probabilité de ;
si elle a pris sa voiture un jour, la probabilité qu'elle reprenne la voiture le lendemain est de .
Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste de sommets A et B où :
est l'événement « Lisa prend le vélo » ;
B est l'événement « Lisa prend la voiture ».
On note, pour tout entier naturel non nul :
la probabilité que Lisa aille au travail à vélo le jour ;
la probabilité que Lisa aille au travail en voiture le jour .
Traduire les données par un graphe probabiliste.
En déduire la matrice de transition .
Donner les valeurs de et correspondant à l'état initial.
Calculer la probabilité arrondie au centième que Lisa prenne le vélo le 8 jour.
Déterminer l'état stable du graphe puis interpréter le résultat obtenu.
Montrer que, pour tout nombre entier naturel non nul : .
En déduire que pour tout entier naturel non nul : .
Recopier et compléter l'algorithme suivant permettant de déterminer le plus petit entier tel que .
Quelle est la valeur de après exécution de l'algorithme ? Interpréter ce résultat.